La secuencia Euclid-Mullin es una secuencia infinita de números primos distintos , en la que cada elemento es el factor primo mínimo de uno más el producto de todos los elementos anteriores. Llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides , porque su definición se basa en una idea en la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos , y después de Albert A. Mullin , quien preguntó sobre la secuencia en 1963. [1]
Los primeros 51 elementos de la secuencia son
- 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139,703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211 ... (secuencia A000945 en la OEIS )
Estos son los únicos elementos conocidos hasta septiembre de 2012 [actualizar]. Encontrar el siguiente requiere encontrar el factor primo mínimo de un número de 335 dígitos (que se sabe que es compuesto ).
Definición
La el elemento de la secuencia, , es el factor primo mínimo de
Por lo tanto, el primer elemento es el factor primo mínimo del producto vacío más uno, que es 2. El tercer elemento es (2 × 3) + 1 = 7. Una mejor ilustración es el quinto elemento de la secuencia, 13. Esto se calcula por (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = 1806 + 1 = 1807, el producto de dos números primos, 13 × 139. De estos dos números primos, 13 es el más pequeño y, por lo tanto, se incluye en la secuencia. De manera similar, el séptimo elemento, 5, es el resultado de (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1,244,335, cuyos factores primos son 5 y 248,867. Estos ejemplos ilustran por qué la secuencia puede saltar de números muy grandes a números muy pequeños.
Propiedades
La secuencia es infinitamente larga y no contiene elementos repetidos. Esto se puede demostrar usando el método de la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos . Esa prueba es constructiva y la secuencia es el resultado de realizar una versión de esa construcción.
Conjetura
¿Aparecen todos los números primos en la secuencia Euclid-Mullin?
Mullin (1963) preguntó si todos los números primos aparecen en la secuencia de Euclid-Mullin y, de no ser así, si el problema de probar un primo dado para determinar la pertenencia a la secuencia es computable . Daniel Shanks ( 1991 ) conjeturó, sobre la base de suposiciones heurísticas de que la distribución de números primos es aleatoria, que todos los números primos aparecen en la secuencia. [2] Sin embargo, aunque secuencias recursivas similares en otros dominios no contienen todos los números primos, [3] estos problemas permanecen abiertos para la secuencia Euclid-Mullin original. [4] El menor número primo que no se conoce como elemento de la secuencia es 41.
Las posiciones de los números primos del 2 al 97 son:
- 2: 1, 3: 2, 5: 7, 7: 3, 11:12, 13: 5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41: ?, 43: 4, 47:?, 53: 6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 ( secuencia A056756 en la OEIS )
dónde ? indica que el puesto (o si existe) se desconoce en 2012. [5]
Secuencias relacionadas
Una secuencia relacionada de números determinada por el factor primo más grande de uno más el producto de los números anteriores (en lugar del factor primo más pequeño) también se conoce como secuencia Euclid-Mullin. Crece más rápido, pero no es monótono. [6] Los números de esta secuencia son
- 2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371,… (secuencia A000946 en la OEIS ).
No todos los números primos aparecen en esta secuencia, [7] y la secuencia de primos faltantes,
- 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ... (secuencia A216227 en la OEIS )
se ha demostrado que es infinito. [8] [9]
También es posible generar versiones modificadas de la secuencia Euclid-Mullin usando la misma regla de elegir el factor primo más pequeño en cada paso, pero comenzando con un primo diferente de 2. [10]
Alternativamente, tomar cada número como uno más el producto de los números anteriores (en lugar de factorizarlo) da la secuencia de Sylvester . La secuencia construida agregando repetidamente todos los factores de uno más el producto de los números anteriores es la misma que la secuencia de factores primos de la secuencia de Sylvester. Al igual que la secuencia Euclid-Mullin, esta es una secuencia de números primos no monótona, pero se sabe que no incluye todos los números primos. [11]
Ver también
Referencias
- ^ Mullin, Albert A. (1963), "Teoría de la función recursiva (Una mirada moderna a una idea euclidiana)", Problemas de investigación, Boletín de la American Mathematical Society , 69 (6): 737, doi : 10.1090 / S0002-9904- 1963-11017-4.
- ^ Shanks, Daniel (1991), "Euclid's primes", Boletín del Instituto de Combinatoria y sus Aplicaciones , 1 : 33–36, MR 1103634.
- ^ Kurokawa, Nobushige; Satoh, Takakazu (2008), "Secuencias de euclides primos sobre dominios de factorización únicos" , Experimental Mathematics , 17 (2): 145–152, doi : 10.1080 / 10586458.2008.10129035 , MR 2433881 , S2CID 12924815.
- ^ Booker, Andrew R. (2016), "Una variante de la secuencia Euclid-Mullin que contiene todos los primos", Journal of Integer Sequences , 19 (6): Artículo 16.6.4, 6, arXiv : 1605.08929 , MR 3546618.
- ^ La lista con los signos de interrogación se da en el campo Extensiones de la entrada OEIS, mientras que la lista principal se detiene en 33 y no tiene signos de interrogación.
- ^ Naur, Thorkil (1984), "La secuencia de números primos de Mullin no es monótona", Proceedings of the American Mathematical Society , 90 (1): 43–44, doi : 10.2307 / 2044665 , JSTOR 2044665 , MR 0722412.
- ^ Cox, CD; Van der Poorten, AJ (1968), "Sobre una secuencia de números primos", Australian Mathematical Society , 8 (3): 571–574, doi : 10.1017 / S1446788700006236 , MR 0228417
- ^ Booker, Andrew R. (2012), "Sobre la segunda secuencia de números primos de Mullin", Integers , 12 (6): 1167-1177, arXiv : 1107.3318 , doi : 10.1515 / integers-2012-0034 , MR 3011555 , S2CID 119144088.
- ^ Pollack, Paul; Treviño, Enrique (2014), "Los números primos que Euclid olvidó", American Mathematical Monthly , 121 (5): 433–437, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.121.05.433 , MR 3193727 , S2CID 1335826.
- ^ Sheppard, Barnaby (2014), La lógica del infinito , Cambridge University Press, p. 26, ISBN 9781139952774
- ^ Guy, Richard; Nowakowski, Richard (1975), "Descubriendo los números primos con Euclid", Delta (Waukesha) , 5 (2): 49–63, MR 0384675.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Secuencia Euclid-Mullin" . MathWorld .