En matemáticas , los números de Euclides son enteros de la forma E n = p n # + 1 , donde p n # es el n- ésimo primorial , es decir, el producto de los primeros n números primos . Llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides , en relación con el teorema de Euclides de que hay infinitos números primos.
Ejemplos de
Por ejemplo, los tres primeros números primos son 2, 3, 5; su producto es 30 y el número de Euclides correspondiente es 31.
Los primeros números de Euclides son 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (secuencia A006862 en la OEIS ).
Historia
A veces se afirma falsamente que la celebrada prueba de Euclides de la infinitud de los números primos se basó en estos números. [1] Euclides no comenzó con la suposición de que el conjunto de todos los números primos es finito. Más bien, dijo: considere cualquier conjunto finito de primos (no asumió que contenía solo los primeros n primos, por ejemplo, podría haber sido {3, 41, 53} ) y razonó desde allí hasta la conclusión de que al menos un primo existe que no está en ese conjunto. [2] Sin embargo, el argumento de Euclides, aplicado al conjunto de los primeros n primos, muestra que el n- ésimo número de Euclides tiene un factor primo que no está en este conjunto.
Propiedades
No todos los números de Euclides son primos. E 6 = 13 # + 1 = 30031 = 59 × 509 es el primer número compuesto de Euclides.
Cada número de Euclides es congruente con 3 mod 4 ya que el primorial del que está compuesto es dos veces el producto de solo primos impares y por lo tanto es congruente con 2 módulo 4. Esta propiedad implica que ningún número de Euclides puede ser un cuadrado .
Para todo n ≥ 3, el último dígito de E n es 1, ya que E n - 1 es divisible entre 2 y 5. En otras palabras, dado que todos los números primarios mayores que E 2 tienen 2 y 5 como factores primos, son divisibles por 10, por lo que todos los E n ≥ 3 +1 tienen un dígito final de 1.
Problemas no resueltos
¿Existe un número infinito de números primos de Euclides?
No se sabe si hay un número infinito de números primos de Euclides ( primos primarios ). [3] También se desconoce si todo número de Euclides es un número libre de cuadrados . [4]
¿Todos los números de Euclides son libres de cuadrados?
Generalización
Un número de Euclides del segundo tipo (también llamado número de Kummer ) es un número entero de la forma E n = p n # - 1, donde p n # es el n-ésimo primorial. Los primeros números son:
- 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (secuencia A057588 en la OEIS )
Al igual que con los números de Euclides, no se sabe si hay infinitos números primos de Kummer. El primero de estos números en ser compuesto es 209 . [5]
Ver también
- Secuencia Euclid-Mullin
- Prueba de la infinitud de los primos (teorema de Euclides)
Referencias
- ^ Michael Hardy y Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer , volumen 31, número 4, otoño de 2009, páginas 44–52.
- ^ "Proposición 20" .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006862 (números Euclid)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Vardi, Ilan (1991). Recreaciones computacionales en Mathematica . Addison-Wesley. págs. 82–89. ISBN 9780201529890.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A125549 (números compuestos de Kummer)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.