Leonhard Euler probó la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann en su tesis Variae observaciónes circa series infinitas ( Varias observaciones sobre series infinitas ), publicada por la Academia de San Petersburgo en 1737. [1] [2]
La fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann dice
donde el lado izquierdo es igual a la función zeta de Riemann:
y el producto del lado derecho se extiende sobre todos los números primos p :
En esta demostración se emplea el método de
Eratóstenes utilizado para filtrar los números primos.
Este boceto de una prueba hace uso únicamente de álgebra simple. Este fue el método por el cual Euler descubrió originalmente la fórmula. Existe una cierta propiedad de cribado que podemos utilizar a nuestro favor:
Restando la segunda ecuación de la primera, eliminamos todos los elementos que tienen un factor de 2:
Repitiendo para el próximo trimestre:
Restando de nuevo obtenemos:
donde se eliminan todos los elementos que tienen un factor de 3 o 2 (o ambos).
Se puede ver que se está tamizando el lado derecho. Repitiendo infinitamente por dónde es primo, obtenemos:
Dividiendo ambos lados por todo menos las ζ ( s ) obtenemos:
Esto se puede escribir de manera más concisa como un producto infinito sobre todos los primos p :
Para hacer esta prueba rigurosa, solo necesitamos observar que cuando , el lado derecho tamizado se aproxima a 1, que se sigue inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para.
Se puede encontrar un resultado interesante para ζ (1), la serie armónica :
que también se puede escribir como,
cual es,
como,
por lo tanto,
Si bien la prueba de razón de series no es concluyente para el lado izquierdo, puede mostrarse divergente mediante logaritmos delimitadores. De manera similar, para el lado derecho, el coproducto infinito de reales mayores que uno no garantiza la divergencia, por ejemplo,
- .
En cambio, el denominador puede escribirse en términos del numerador primorial para que la divergencia sea clara.
dada la divergencia logarítmica compuesta trivial de una serie prima inversa.
Cada factor (para un primo p dado ) en el producto anterior se puede expandir a una serie geométrica que consiste en el recíproco de p elevado a múltiplos de s , como sigue
Cuándo , tenemos | p - s | <1 y esta serie converge absolutamente . Por tanto, podemos tomar un número finito de factores, multiplicarlos y reorganizar los términos. Tomando todos los números primos p hasta algún límite de números primos q , tenemos
donde σ es la parte real de s . Según el teorema fundamental de la aritmética , el producto parcial cuando se expande da una suma que consta de los términos n - s donde n es un producto de primos menores o iguales que q . La desigualdad resulta del hecho de que, por lo tanto, solo los números enteros mayores que q pueden no aparecer en este producto parcial expandido. Dado que la diferencia entre el producto parcial y ζ ( s ) llega a cero cuando σ> 1, tenemos convergencia en esta región.