En matemática combinatoria , un poset euleriano es un poset graduado en el que cada intervalo no trivial tiene el mismo número de elementos de rango par que de rango impar. Un poset euleriano que es una celosía es una celosía euleriana . Estos objetos llevan el nombre de Leonhard Euler . Las celosías eulerianas generalizan las celosías faciales de politopos convexos y muchas investigaciones recientes se han dedicado a ampliar los resultados conocidos de la combinatoria poliédrica , como varias restricciones en los vectores f de politopos simpliciales convexos., a este escenario más general.
Ejemplos de
- La celosía de caras de un politopo convexo , que consta de sus caras, junto con el elemento más pequeño, la cara vacía, y el elemento más grande, el propio politopo, es una celosía euleriana. La condición par-impar se deriva de la fórmula de Euler .
- Cualquier esfera de homología generalizada simplicial es una red euleriana.
- Sea L un complejo celular regular tal que | L | es una variedad con la misma característica de Euler que la esfera de la misma dimensión (esta condición es vacía si la dimensión es impar). Entonces, el conjunto de celdas de L , ordenado por la inclusión de sus cierres, es euleriano.
- Sea W un grupo Coxeter con orden Bruhat . Entonces ( W , ≤) es un poset euleriano.
Propiedades
- La condición definitoria de un poset euleriano P se puede establecer de manera equivalente en términos de su función de Möbius :
- El dual de un poset euleriano, obtenido invirtiendo el orden parcial, es euleriano.
- Richard Stanley define el tórico h -vector de un conjunto parcialmente ordenado clasificado , que generaliza el h -vector de un politopo simplicial. [1] Demostró que las ecuaciones de Dehn-Sommerville
- para un poset euleriano arbitrario de rango d + 1. [2] Sin embargo, para un poset euleriano que surge de un complejo celular regular o un politopo convexo, el vector h tórico no determina ni está determinado por el número de celdas o caras de diferente dimensión y el vector h tórico no tiene una interpretación combinatoria directa.
Notas
Referencias
- Richard P. Stanley , Combinatoria enumerativa , volumen 1. Cambridge University Press, 1997 ISBN 0-521-55309-1
Ver también
- Politopo abstracto
- Producto estrella , un método para combinar posets conservando la propiedad euleriana