Eversión de esfera
En topología diferencial , la eversión de la esfera es el proceso de dar vuelta una esfera al revés en un espacio tridimensional (la palabra eversión significa "dar la vuelta al revés"). Sorprendentemente, es posible dar la vuelta a una esfera de manera suave y continua de esta manera (con posibles autointersecciones ) sin cortarla, rasgarla o crear ningún pliegue . Esto es sorprendente, tanto para los no matemáticos como para aquellos que entienden la homotopía regular , y puede considerarse una paradoja verídica ; eso es algo que, siendo cierto, a primera vista parece falso.
Stephen Smale ( 1957 ) creó por primera vez una prueba de existencia para la eversión de esferas sin arrugas . Es difícil visualizar un ejemplo particular de tal giro, aunque se han producido algunas animaciones digitales que lo hacen un poco más fácil. El primer ejemplo se exhibió gracias a los esfuerzos de varios matemáticos, incluidos Arnold S. Shapiro y Bernard Morin , que era ciego. Por otro lado, es mucho más fácil probar que tal "giro" existe, y eso es lo que hizo Smale.
El asesor de posgrado de Smale, Raoul Bott , le dijo al principio a Smale que el resultado obviamente era incorrecto ( Levy 1995 ). Su razonamiento fue que el grado del mapa de Gauss debe conservarse en tal "giro"; en particular, se sigue que no hay tal giro de S 1 en R 2 . Pero los grados del mapa de Gauss para las incrustaciones f y − f en R 3 son ambos iguales a 1, y no tienen signo opuesto como uno podría adivinar incorrectamente. El grado del mapa de Gauss de todas las inmersiones de S 2 en R 3es 1, por lo que no hay obstáculo. El término "paradoja verídica" se aplica quizás de manera más apropiada a este nivel: hasta el trabajo de Smale, no hubo ningún intento documentado de argumentar a favor o en contra de la eversión de S 2 , y los esfuerzos posteriores son retrospectivos, por lo que nunca hubo una paradoja histórica asociada con eversión de la esfera, sólo una apreciación de las sutilezas al visualizarla por parte de quienes confrontan la idea por primera vez.
La prueba original de Smale fue indirecta: identificó (homotopía regular) clases de inmersiones de esferas con un grupo de homotopía de la variedad de Stiefel . Dado que desaparece el grupo de homotopía que corresponde a las inmersiones de in , la incrustación estándar y la de adentro hacia afuera deben ser homotópicas regulares. En principio, la prueba se puede desenrollar para producir una homotopía regular explícita, pero esto no es fácil de hacer.
