En matemáticas , un exótico es una variedad diferenciable que es homeomórfica pero no difeomórfica del espacio euclidiano Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre 4 variedades topológicas y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4 variedades suaves. [1] [2] Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomórficas decomo lo demostró primero Clifford Taubes . [3]
Antes de esta construcción, ya se conocía la existencia de estructuras lisas no difeomórficas en esferas --esferas exóticas-- , aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera permanecía abierta (y sigue abierta a partir de 2021 ). Para cualquier entero positivo n distinto de 4, no hay estructuras suaves exóticas enen otras palabras, si n ≠ 4 entonces cualquier homeomorfo colector uniforme a es difeomorfo a [4]
Pequeño exótico R 4 s
Un exotico se llama pequeño si se puede integrar sin problemas como un subconjunto abierto del estándar
Pequeño exótico puede construirse partiendo de un h - cobordismo 5-dimensional suave no trivial (que existe mediante la prueba de Donaldson de que el teorema de h -cobordismo falla en esta dimensión) y usando el teorema de Freedman de que el teorema de h -cobordismo topológico se cumple en esta dimensión.
Grandes exóticos R 4 s
Un exotico se llama grande si no se puede integrar sin problemas como un subconjunto abierto del estándar
Ejemplos de grandes exóticos se puede construir utilizando el hecho de que los 4-colectores compactos a menudo se pueden dividir como una suma topológica (por el trabajo de Freedman), pero no pueden dividirse como una suma uniforme (por el trabajo de Donaldson).
Michael Hartley Freedman y Laurence R. Taylor ( 1986 ) demostraron que existe un máximo exótico en el que todos los demás se puede incrustar sin problemas como subconjuntos abiertos.
Estructuras exóticas relacionadas
Los mangos Casson son homeomorfos para por el teorema de Freedman (donde es el disco unitario cerrado), pero del teorema de Donaldson se deduce que no todos son difeomórficos a En otras palabras, algunos mangos Casson son exóticos.
No se sabe (a partir de 2021) si hay o no 4 esferas exóticas; una 4-esfera tan exótica sería un contraejemplo de la suave conjetura generalizada de Poincaré en la dimensión 4. Algunos candidatos plausibles los dan los giros de Gluck .
Ver también
- Corcho Akbulut - herramienta utilizada para construir exóticoses de clases en [5]
- Atlas (topología)
Notas
- ^ Kirby (1989), pág. 95
- ^ Freedman y Quinn (1990), p. 122
- ^ Taubes (1987), Teorema 1.1
- ↑ Stallings (1962), en particular Corolario 5.2
- ^ Asselmeyer-Maluga, Torsten; Król, Jerzy (28 de agosto de 2014). "Gerbios abelianos, geometrías generalizadas y foliaciones de pequeños R ^ 4 exóticos". arXiv : 0904,1276 [ hep-ésimo ].
Referencias
- Freedman, Michael H .; Quinn, Frank (1990). Topología de 4 colectores . Serie matemática de Princeton. 39 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
- Freedman, Michael H .; Taylor, Laurence R. (1986). "Un suavizado universal de cuatro espacios" . Revista de geometría diferencial . 24 (1): 69–78. doi : 10.4310 / jdg / 1214440258 . ISSN 0022-040X . Señor 0857376 .
- Kirby, Robion C. (1989). La topología de 4 colectores . Apuntes de clase en matemáticas. 1374 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.
- Scorpan, Alexandru (2005). El salvaje mundo de las 4 variedades . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3749-8.
- Stallings, John (1962). "La estructura lineal por partes del espacio euclidiano" . Proc. Cambridge Philos. Soc . 58 (3): 481–488. Código Bibliográfico : 1962PCPS ... 58..481S . doi : 10.1017 / s0305004100036756 . SEÑOR0149457
- Gompf, Robert E .; Stipsicz, András I. (1999). 4-variedades y cálculo de Kirby . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 20 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0994-6.
- Taubes, Clifford Henry (1987). "Teoría del calibre en 4 variedades asintóticamente periódicas" . Revista de geometría diferencial . 25 (3): 363–430. doi : 10.4310 / jdg / 1214440981 . Señor 0882829 . PE 1214440981 .