Matriz exponencial

En matemáticas , la matriz exponencial es una función matricial en matrices cuadradas análoga a la función exponencial ordinaria . Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En la teoría de los grupos de Lie, la matriz exponencial da la conexión entre una matriz de álgebra de Lie y el grupo de Lie correspondiente .

Sea $X$ una matriz real o compleja $n \times n$ . El exponencial de $X$ , denotado por $e$ $X$ o $exp ($ $X$ $)$ , es la matriz $n$ $\times$ $n$ dada por la serie de potencias

donde se define como la matriz identidad con las mismas dimensiones que . ^[1] ${\ Displaystyle X ^ {0}}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle X}$

La serie anterior siempre converge, por lo que la exponencial de $X$ está bien definida. Si $X$ es una matriz de 1 × 1, la matriz exponencial de $X$ es una matriz de 1 × 1 cuyo elemento único es el exponencial ordinario del elemento único de $X.$

Sean $X$ e $Y$ $n \times n$ matrices complejas y sean $ayb$ números complejos $arbitrarios$ . Denotamos la matriz identidad $n$ $\times$ $n$ por $I$ y la matriz cero por 0. La matriz exponencial satisface las siguientes propiedades. ^[2]

La prueba de esta identidad es la misma que el argumento estándar de la serie de potencias para la identidad correspondiente para el exponencial de los números reales. Es decir, siempre que y conmuten ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ , no hay diferencia para el argumento si y son números o matrices. Es importante tener en cuenta que esta identidad generalmente no se mantiene si y no conmuta (consulte la desigualdad de Golden-Thompson a continuación). ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$