En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el cálculo tensorial , las formas diferenciales son un enfoque del cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas . Las formas diferenciales proporcionan un enfoque unificado para definir integrandos sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de dimensiones superiores . Élie Cartan fue pionero en la noción moderna de formas diferenciales . Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.
Por ejemplo, la expresión f ( x ) dx de cálculo de una variable es un ejemplo de un 1 -forma , y puede ser integrado sobre un intervalo orientado [ un , b ] en el dominio de f :
Del mismo modo, la expresión f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dz es una 2 -forma que tiene una integral de superficie sobre una superficie orientada S :
El símbolo ∧ denota el producto exterior , a veces llamado producto de la cuña , de dos formas diferenciales. Del mismo modo, un 3 -forma f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz representa un elemento de volumen que se puede integrar sobre una región orientada de espacio. En general, una forma k es un objeto que puede integrarse sobre una variedad orientada a una dimensión k , y es homogénea de grado k en los diferenciales de coordenadas. En una nVariedad dimensional, la forma dimensional superior (forma n ) se llama forma de volumen .
El álgebra de formas diferenciales está organizado de una manera que refleja naturalmente la orientación del dominio de integración. Hay una operación d en formas diferenciales conocidos como la derivada exterior que, cuando se administra una k -form como entrada, produce una ( k + 1) -forma como salida. Esta operación se extiende el diferencial de una función , y está directamente relacionada con la divergencia y el enrollamiento de un campo vectorial de una manera que hace que el teorema fundamental del cálculo , el teorema de la divergencia , el teorema de Green, y casos especiales del teorema de Stokes del mismo resultado general, conocido en este contexto también como el teorema de Stokes generalizado . De manera más profunda, este teorema relaciona la topología del dominio de integración con la estructura de las formas diferenciales mismas; la conexión precisa se conoce como teorema de de Rham .
El marco general para el estudio de las formas diferenciales se encuentra en una variedad diferenciable . Las formas diferenciales 1 son naturalmente duales a los campos vectoriales en una variedad, y el emparejamiento entre los campos vectoriales y las formas 1 se extiende a formas diferenciales arbitrarias por el producto interior . El álgebra de formas diferenciales junto con la derivada exterior definida en ella se conserva mediante el retroceso en funciones suaves entre dos variedades. Esta característica permite que la información geométricamente invariante se mueva de un espacio a otro a través del retroceso, siempre que la información se exprese en términos de formas diferenciales. Como ejemplo, la fórmula de cambio de variables porque la integración se convierte en una simple afirmación de que una integral se conserva bajo retroceso.