En la teoría de formas diferenciales , un ideal diferencial I es un ideal algebraico en el anillo de formas diferenciales suaves en una variedad suave , en otras palabras, un ideal graduado en el sentido de la teoría de anillos , que se cierra aún más bajo la diferenciación exterior d . En otras palabras, para cualquier forma α en I , el derivado exterior d α es también en I .
En la teoría del álgebra diferencial , un ideal diferencial I en un anillo diferencial R es un ideal que se asigna a sí mismo por cada operador diferencial.
Sistemas diferenciales exteriores y ecuaciones diferenciales parciales
Un sistema diferencial exterior consta de un colector suave y un ideal diferencial
- .
Un colector integral de un sistema diferencial exteriorconsta de un sub-colector tener la propiedad de que el retroceso de todas las formas diferenciales contenidas en desaparece de forma idéntica.
Se puede expresar cualquier sistema de ecuaciones diferenciales parciales como un sistema diferencial exterior con condición de independencia. Suponga que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de k- ésimo orden para mapas, dada por
- .
La gráfica de la -chorro de cualquier solución de este sistema de ecuaciones diferenciales parciales es una subvariedad del espacio del chorro , y es un colector integral del sistema de contacto sobre el -Paquete de chorro.
Esta idea permite analizar las propiedades de las ecuaciones diferenciales parciales con métodos de geometría diferencial. Por ejemplo, podemos aplicar el teorema de Cartan-Kähler a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales escribiendo el sistema diferencial exterior asociado. Con frecuencia podemos aplicar el método de equivalencia de Cartan a sistemas diferenciales exteriores para estudiar sus simetrías y sus invariantes de difeomorfismo.
Ideales diferenciales perfectos
Un ideal diferencial es perfecto si tiene la propiedad de que si contiene un elemento contienen cualquier elemento tal que para algunos .
Referencias
- Robert Bryant , Phillip Griffiths y Lucas Hsu, Hacia una geometría de ecuaciones diferenciales (archivo DVI), en Geometría, topología y física, Conf. Proc. Notas de la conferencia Geom. Topología, editado por S.-T. Yau, vol. IV (1995), págs. 1-76, Internat. Prensa, Cambridge, MA
- Robert Bryant , Shiing-Shen Chern , Robert Gardner , Phillip Griffiths , Hubert Goldschmidt, Sistemas de diferenciales exteriores , Springer - Verlag, Heidelberg, 1991.
- Thomas A. Ivey, JM Landsberg, Cartan para principiantes . Geometría diferencial mediante bastidores móviles y sistemas diferenciales exteriores. Segunda edicion. Estudios de posgrado en matemáticas, 175. American Mathematical Society, Providence, RI, 2016.
- HW Raudenbush, Jr. "Teoría ideal y ecuaciones diferenciales algebraicas", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 36, núm. 2. (abril de 1934), págs. 361–368. URL estable: [1] doi : 10.1090 / S0002-9947-1934-1501748-1
- JF Ritt, Álgebra diferencial , Dover, Nueva York, 1950.