Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . ( Marzo de 2016 ) |
En matemáticas , particularmente en cálculo , un punto estacionario de una función diferenciable de una variable es un punto en la gráfica de la función donde la derivada de la función es cero. [1] [2] [3] Informalmente, es un punto donde la función "deja" de aumentar o disminuir (de ahí el nombre).
Para una función diferenciable de varias variables reales , un punto estacionario es un punto en la superficie del gráfico donde todas sus derivadas parciales son cero (de manera equivalente, el gradiente es cero).
Los puntos estacionarios son fáciles de visualizar en la gráfica de una función de una variable: corresponden a los puntos en la gráfica donde la tangente es horizontal (es decir, paralela al eje x ). Para una función de dos variables, corresponden a los puntos en el gráfico donde el plano tangente es paralelo al plano xy .
Un punto de inflexión es un punto en el que la derivada cambia de signo. [2] Un punto de inflexión puede ser un máximo relativo o un mínimo relativo (también conocido como mínimo y máximo local). Si la función es diferenciable, entonces un punto de inflexión es un punto estacionario; sin embargo, no todos los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Si la función es dos veces diferenciable, los puntos estacionarios que no son puntos de inflexión son puntos de inflexión horizontal . Por ejemplo, la función tiene un punto estacionario en x = 0 , que también es un punto de inflexión, pero no es un punto de inflexión. [3]
Los puntos estacionarios aislados de una función con valor real se clasifican en cuatro tipos, mediante la prueba de la primera derivada :
Las dos primeras opciones se conocen colectivamente como " extremos locales ". De manera similar, un punto que es un máximo global (o absoluto) o un mínimo global (o absoluto) se llama un extremo global (o absoluto). Las dos últimas opciones, puntos estacionarios que no son extremos locales, se conocen como puntos silla .
Según el teorema de Fermat , los extremos globales deben ocurrir (para una función) en el límite o en puntos estacionarios.
Determinar la posición y la naturaleza de los puntos estacionarios ayuda a trazar curvas de funciones diferenciables. Resolver la ecuación f ' ( x ) = 0 devuelve las coordenadas x de todos los puntos estacionarios; las coordenadas y son trivialmente los valores de la función en esas coordenadas x . La naturaleza específica de un punto estacionario en x se puede determinar en algunos casos examinando la segunda derivada f '' ( x ):
Una forma más sencilla de determinar la naturaleza de un punto estacionario es examinando los valores de la función entre los puntos estacionarios (si la función está definida y es continua entre ellos).
Un ejemplo simple de un punto de inflexión es la función f ( x ) = x 3 . Hay un claro cambio de concavidad en el punto x = 0, y podemos demostrarlo mediante cálculo . La segunda derivada de f es la 6 x continua en todas partes , y en x = 0, f ′ ′ = 0, y el signo cambia alrededor de este punto. Entonces x = 0 es un punto de inflexión.
De manera más general, los puntos estacionarios de una función con valor real son aquellos puntos x 0 donde la derivada en cada dirección es igual a cero, o equivalentemente, el gradiente es cero.
Para la función f ( x ) = x 4 tenemos f ' (0) = 0 y f' ' (0) = 0. Aunque f' ' (0) = 0, este punto no es un punto de inflexión. La razón es que el signo de f ' ( x ) cambia de negativo a positivo.
Para la función f ( x ) = sin ( x ) tenemos f ' (0) ≠ 0 y f' ' (0) = 0. Pero este no es un punto estacionario, sino un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ' ( x ) no cambia; se mantiene positivo.
Para la función f ( x ) = x 3 tenemos f ' (0) = 0 y f' ' (0) = 0. Este es tanto un punto estacionario como un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ' ( x ) no cambia; se mantiene positivo.