En matemáticas , un conjunto simplicial es un objeto formado por "simplices" de una manera específica. Los conjuntos simples son generalizaciones de dimensiones superiores de gráficos dirigidos , conjuntos parcialmente ordenados y categorías . Formalmente, un conjunto simplicial puede definirse como un funtor contravariante de la categoría simplex a la categoría de conjuntos . Los conjuntos simples fueron introducidos en 1950 por Samuel Eilenberg y JA Zilber. [1]
Uno puede ver un conjunto simplicial como una construcción puramente combinatoria diseñada para capturar la noción de un espacio topológico de " buen comportamiento " para los propósitos de la teoría de la homotopía . Específicamente, la categoría de conjuntos simpliciales lleva una estructura de modelo natural , y la categoría de homotopía correspondiente es equivalente a la categoría de homotopía familiar de espacios topológicos.
Los conjuntos simples se utilizan para definir cuasi-categorías , una noción básica de la teoría de categorías superiores . Una construcción análoga a la de conjuntos simpliciales puede realizarse en cualquier categoría, no solo en la categoría de conjuntos, dando lugar a la noción de objetos simpliciales .
Motivación
Un conjunto simplicial es un modelo categórico (es decir, puramente algebraico) que captura aquellos espacios topológicos que se pueden construir (o representar fielmente hasta la homotopía) a partir de simplices y sus relaciones de incidencia. Esto es similar al enfoque de los complejos CW para modelar espacios topológicos, con la diferencia crucial de que los conjuntos simpliciales son puramente algebraicos y no llevan ninguna topología real.
Para volver a los espacios topológicos reales, existe un functor de realización geométrica que convierte conjuntos simples en espacios de Hausdorff generados de forma compacta . La mayoría de los resultados clásicos sobre complejos CW en la teoría de homotopía se generalizan mediante resultados análogos para conjuntos simpliciales. Si bien los topólogos algebraicos continúan prefiriendo en gran medida los complejos CW, existe un creciente contingente de investigadores interesados en utilizar conjuntos simpliciales para aplicaciones en geometría algebraica donde los complejos CW no existen de forma natural.
Intuición
Los conjuntos simples pueden verse como una generalización de dimensiones superiores de multigrafos dirigidos . Un conjunto simplicial contiene vértices (conocidos como "0-simplices" en este contexto) y flechas ("1-simplices") entre algunos de estos vértices. Se pueden conectar dos vértices mediante varias flechas y también se permiten bucles dirigidos que conectan un vértice consigo mismo. A diferencia de los multigrafos dirigidos, los conjuntos simpliciales también pueden contener simplices superiores. A 2-simplex, por ejemplo, puede ser pensado como una de dos dimensiones "triangular" forma limitada por una lista de tres vértices A , B , C y tres flechas B → C , A → C y A → B . En general, un n- simple es un objeto formado por una lista de n + 1 vértices (que son 0-simples) y n + 1 caras (que son ( n - 1) -simplices). Los vértices de la i -ésima cara son los vértices del n -simplex menos el i -ésimo vértice. Los vértices de un simplex no necesitan ser distintos y un simplex no está determinado por sus vértices y caras: dos simples diferentes pueden compartir la misma lista de caras (y por lo tanto la misma lista de vértices), al igual que dos flechas diferentes en un multigraph conecta los mismos dos vértices.
Los conjuntos simples no deben confundirse con los complejos simpliciales abstractos , que generalizan gráficos simples no dirigidos en lugar de multigrafos dirigidos.
Formalmente, un conjunto simple X es una colección de conjuntos X n , n = 0, 1, 2, ..., junto con ciertos mapas entre estos conjuntos: los mapas de caras d n , i : X n → X n −1 ( n = 1, 2, 3, ... y 0 ≤ i ≤ n ) y mapas de degeneración s n , i : X n → X n +1 ( n = 0, 1, 2, ... y 0 ≤ i ≤ n ). Pensamos en los elementos de X n como los n -simplices de X . El mapa d n , i asigna a cada uno de estos n -simplex su i -ésima cara, la cara "opuesta a" (es decir, que no contiene) el i -ésimo vértice. El mapa s n , i asigna a cada n -simplex el degenerado ( n +1) -simplex que surge del dado al duplicar el i -ésimo vértice. Esta descripción requiere implícitamente ciertas relaciones de consistencia entre los mapas d n , i y s n , i . En lugar de exigir explícitamente estas identidades simpliciales como parte de la definición, la definición moderna, corta y elegante, utiliza el lenguaje de la teoría de categorías .
Definicion formal
Sea Δ la categoría símplex . Los objetos de Δ son conjuntos ordenados linealmente no vacíos de la forma
- [ n ] = {0, 1, ..., n }
con n ≥0. Los morfismos en Δ son (no estrictamente) funciones de preservación del orden entre estos conjuntos.
Un conjunto simplicial X es un funtor contravariante
- X : Δ → Establecer
donde Conjunto es la categoría de conjuntos . (De manera alternativa y equivalente, se pueden definir conjuntos simpliciales como functores covariantes de la categoría opuesta Δ op a Set ). Los conjuntos simples, por lo tanto, no son más que pretensiones en Δ. Dado un conjunto simple X, a menudo escribimos X n en lugar de X ([ n ]).
Los conjuntos simples forman una categoría, generalmente denominada sSet , cuyos objetos son conjuntos simples y cuyos morfismos son transformaciones naturales entre ellos.
Si consideramos functores covariantes X : Δ → Conjunto en lugar de contravariantes, llegamos a la definición de conjunto cosimplicial . La categoría correspondiente de conjuntos cosimpliciales se denota por cSet .
Mapas de rostro y degeneración
La categoría simplex Δ es generada por dos familias de morfismos (mapas) particularmente importantes, cuyas imágenes bajo un functor de conjunto simplicial dado se denominan mapas faciales y mapas de degeneración de ese conjunto simplicial.
Los mapas faciales de un conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de morfismos, dónde es la única inyección (que conserva el orden) que "echa de menos" . Denotemos estos mapas faciales por respectivamente, de modo que es un mapa . Si el primer índice es claro, escribimos en vez de .
Los mapas de degeneración del conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de morfismos., dónde es la única sobreyección (que conserva el orden) que "golpea" dos veces. Denotemos estos mapas de degeneración por respectivamente, de modo que es un mapa . Si el primer índice es claro, escribimos en vez de .
Los mapas definidos satisfacen las siguientes identidades simples :
- si yo < j . (Esta es la abreviatura desi 0 ≤ i < j ≤ n .)
- si yo < j .
- si i = j o i = j + 1.
- si i > j + 1.
- si yo ≤ j .
Por el contrario, dada una secuencia de conjuntos X n junto con mapas y que satisfacen las identidades simpliciales, hay un conjunto simplicial único X que tiene estos mapas de caras y degeneraciones. Por tanto, las identidades proporcionan una forma alternativa de definir conjuntos simpliciales.
Ejemplos de
Dado un conjunto parcialmente ordenado ( S , ≤), podemos definir un conjunto simplicial NS , el nervio de S , de la siguiente manera: para cada objeto [ n ] de Δ establecemos NS ([ n ]) = hom po-set ([ n ], S ), los mapas de orden de preservación de [ n ] a S . Cada morfismo φ: [ n ] → [ m ] en Δ es un mapa que preserva el orden y, a través de la composición, induce un mapa NS (φ): NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Es sencillo comprobar que NS es un funtor contravariante de Δ a Set : un conjunto simple.
Concretamente, los n -simplices del nervio NS , es decir, los elementos de NS n = NS ([ n ]), se pueden considerar como secuencias ordenadas de longitud- ( n +1) de elementos de S : ( a 0 ≤ a 1 ≤ ... ≤ a n ). El mapa facial d i elimina el i -ésimo elemento de dicha lista, y los mapas de degeneración s i duplican el i -ésimo elemento.
Una construcción similar se puede realizar para cada categoría C , para obtener el nervio NC de C . Aquí, NC ([ n ]) es el conjunto de todos los functores de [ n ] a C , donde consideramos [ n ] como una categoría con objetos 0,1, ..., n y un solo morfismo de i a j siempre que yo ≤ j .
Concretamente, los n -simplices del nervio NC pueden considerarse como secuencias de n morfismos componibles en C : a 0 → a 1 → ... → a n . (En particular, los 0-simplices son los objetos de C y los 1-simplices son los morfismos de C. ) El mapa de caras d 0 elimina el primer morfismo de dicha lista, el mapa de caras d n elimina el último y el face map d i para 0 < i < n cae a i y compone los morfismos i- ésimo y ( i + 1) -ésimo. Los mapas degeneración s i alargar la secuencia mediante la inserción de un morfismo identidad en la posición i .
Podemos recuperar el poset S del nervio NS y la categoría C del nervio NC ; en este sentido, los conjuntos simpliciales generalizan posets y categorías.
Otra clase importante de ejemplos de sistemas simplicial está dada por el conjunto singular SY de un espacio topológico Y . Aquí SY n consiste en todos los mapas continuos de la topológica estándar n -simplex a Y . El conjunto singular se explica con más detalle a continuación.
El estándar n- simple y la categoría de simples
El n- simple estándar , denotado Δ n , es un conjunto simple definido como el functor hom Δ (-, [ n ]) donde [ n ] denota el conjunto ordenado {0, 1, ..., n } del primero ( n + 1) enteros no negativos. (En muchos textos, en cambio, se escribe como hom ([ n ], -) donde se entiende que el homset está en la categoría opuesta Δ op . [2] )
Por el lema de Yoneda , el n -simplices de un conjunto simplicial X de pie en 1-1 correspondencia con las transformaciones naturales de Δ n a X, es decir,.
Además, X da lugar a una categoría de simples , denotada por, cuyos objetos son mapas ( es decir, transformaciones naturales) Δ n → X y cuyos morfismos son transformaciones naturales Δ n → Δ m sobre X que surgen de los mapas [ n ] → [ m ] en Δ. Es decir,es una categoría rebanada de Δ sobre X . El siguiente isomorfismo muestra que un conjunto simplicial X es un colimit de sus simples: [3]
donde el colímite se toma sobre la categoría de simplices de X .
Realización geométrica
Hay un functor | • |: sSet → CGHaus llamado la realización geométrica que lleva un conjunto simplicial X a su realización correspondiente en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff generados de forma compacta . Intuitivamente, la realización de X es el espacio topológico (de hecho, un complejo CW ) obtenido si cada n- simplex de X es reemplazado por un n- simplex topológico (un cierto subconjunto n- dimensional de ( n + 1) espacio euclidiano dimensional definido más abajo) y estos simplices topológicos están pegados juntos de la manera en que los simplices de X cuelgan juntos. En este proceso se pierde la orientación de los simples de X.
Para definir el functor de realización, primero lo definimos en n-simplices estándar Δ n de la siguiente manera: la realización geométrica | Δ n | es el n - simplex topológico estándar en la posición general dada por
Entonces, la definición se extiende naturalmente a cualquier conjunto simplicial X al establecer
- | X | = lim Δ n → X | Δ n |
donde el colimit se toma sobre la categoría n-simplex de X . La realización geométrica es funcional en sSet .
Es significativo que usemos la categoría CGHaus de espacios de Hausdorff generados de forma compacta, en lugar de la categoría Top de espacios topológicos, como la categoría objetivo de realización geométrica: como sSet y, a diferencia de Top , la categoría CGHaus es cartesiana cerrada ; el producto categórico se define de manera diferente en las categorías Top y CGHaus , y el de CGHaus corresponde al de sSet vía realización geométrica.
Conjunto singular para un espacio
El conjunto singular de un espacio topológico Y es el conjunto simple SY definido por
- ( SY ) ([ n ]) = hom T op (| Δ n |, Y ) para cada objeto [ n ] ∈ Δ.
Cada mapa que conserva el orden φ: [ n ] → [ m ] induce un mapa continuo | Δ n | → | Δ m | de forma natural, que por composición da SY ( φ ): SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Esta definición es análoga a una idea estándar en homología singular de "sondear" un espacio topológico objetivo con n -simplices topológicos estándar . Además, el functor singular S es adyacente al functor de realización geométrica descrito anteriormente, es decir:
- hom Top (| X |, Y ) ≅ hom sSet ( X , SY )
para cualquier conjunto simplicial X y cualquier espacio topológico Y . Intuitivamente, esta adjunción se puede entender de la siguiente manera: un mapa continuo desde la realización geométrica de X a un espacio Y se especifica de manera única si asociamos a cada símplex de X un mapa continuo desde el símplex topológico estándar correspondiente a Y, de tal manera que estos mapas son compatibles con la forma en que los simples en X se juntan.
Teoría de la homotopía de conjuntos simpliciales
Para definir una estructura modelo en la categoría de conjuntos simpliciales, es necesario definir fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Se pueden definir fibraciones como fibraciones Kan . Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una equivalencia débil si su realización geométrica es una equivalencia débil de espacios. Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una cofibración si es un monomorfismo de conjuntos simpliciales. Es un teorema difícil de Daniel Quillen que la categoría de conjuntos simpliciales con estas clases de morfismos satisfaga los axiomas para una categoría de modelo simplicial cerrada adecuada .
Un punto de inflexión clave de la teoría es que la realización geométrica de una fibración Kan es una fibración de espacios de Serre . Con la estructura del modelo en su lugar, se puede desarrollar una teoría de homotopía de conjuntos simpliciales utilizando métodos estándar de álgebra homotópica . Además, la realización geométrica y los functores singulares dan una equivalencia de Quillen de categorías de modelo cerrado que inducen una equivalencia
- | • |: Ho ( sSet ) ↔ Ho ( Arriba )
entre la categoría de homotopía para conjuntos simpliciales y la categoría de homotopía habitual de complejos CW con clases de homotopía de mapas continuos entre ellos. Es parte de la definición general de un adjunto de Quillen que el funtor adjunto derecho (en este caso, el funtor de conjunto singular) lleva fibraciones (resp. Fibraciones triviales) a fibraciones (resp. Fibraciones triviales).
Objetos simples
Un objeto simplicial X en una categoría C es un funtor contravariante
- X : Δ → C
o equivalentemente un functor covariante
- X : Δ op → C,
donde Δ todavía denota la categoría simplex . Cuando C es la categoría de conjuntos , solo estamos hablando de los conjuntos simples que se definieron anteriormente. Dejando C ser la categoría de grupos o categoría de grupos abelianos , obtenemos las categorías sGrp de grupos simpliciales y sAb de grupos abelianos simpliciales , respectivamente.
Los grupos simpliciales y los grupos abelianos simpliciales también llevan estructuras modelo cerradas inducidas por la de los conjuntos simpliciales subyacentes.
Los grupos de homotopía de los grupos abelianos simpliciales se pueden calcular haciendo uso de la correspondencia Dold-Kan que produce una equivalencia de categorías entre los grupos abelianos simpliciales y los complejos de cadenas acotadas y viene dada por functores
- N: sAb → Ch +
y
- Γ: Ch + → sAb .
Historia y usos de los conjuntos simpliciales
Los conjuntos simples se usaron originalmente para dar descripciones precisas y convenientes de los espacios de clasificación de los grupos . Esta idea fue ampliamente ampliada por la idea de Grothendieck de considerar espacios de clasificación de categorías, y en particular por el trabajo de Quillen de teoría K algebraica . En este trabajo, que le valió la Medalla Fields , Quillen desarrolló métodos sorprendentemente eficientes para manipular infinitos conjuntos de simplicias. Posteriormente, estos métodos se utilizaron en otras áreas en la frontera entre la geometría algebraica y la topología. Por ejemplo, la homología de André-Quillen de un anillo es una "homología no abeliana", definida y estudiada de esta manera.
Tanto la teoría K algebraica como la homología de André-Quillen se definen utilizando datos algebraicos para escribir un conjunto simplicial y luego tomar los grupos de homotopía de este conjunto simplicial.
Los métodos simples suelen ser útiles cuando se quiere demostrar que un espacio es un espacio de bucle . La idea básica es que si es un grupo con espacio de clasificación , luego es homotopía equivalente al espacio de bucle . Si en sí mismo es un grupo, podemos iterar el procedimiento y es homotopía equivalente al espacio de doble bucle . En caso es un grupo abeliano, en realidad podemos iterar esto infinitas veces y obtener que es un espacio de bucle infinito.
Incluso si no es un grupo abeliano, puede suceder que tenga una composición lo suficientemente conmutativa como para que se pueda utilizar la idea anterior para demostrar que es un espacio de bucle infinito. De esta forma, se puede probar que el algebraico-La teoría de un anillo, considerado como un espacio topológico, es un espacio de bucle infinito.
En los últimos años, los conjuntos simpliciales se han utilizado en la teoría de categorías superiores y en la geometría algebraica derivada . Las cuasi-categorías pueden pensarse como categorías en las que la composición de los morfismos se define solo hasta la homotopía, y también se retiene información sobre la composición de homotopías superiores. Las cuasi-categorías se definen como conjuntos simples que satisfacen una condición adicional, la condición Kan débil.
Ver también
- Conjunto delta
- Conjunto dendroidal , una generalización del conjunto simplicial
- Gavilla prefabricada simple
- Cuasicategoría
- Complejo Kan
- Correspondencia Dold-Kan
- Homotopía simplicial
- Esfera simple
- Complejo simplicial abstracto
Notas
- ^ Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "Complejos Semi-Simpliciales y Homología Singular". Annals of Mathematics . 51 (3): 499–513. doi : 10.2307 / 1969364 . JSTOR 1969364 .
- ^ Gelfand y Manin 2013
- ^ Goerss y Jardine 1999 , p. 7
Referencias
- Goerss, Paul G .; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simple . Progreso en Matemáticas. 174 . Birkhäuser. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1. Señor 1711612 .
- Gelfand, Sergei I .; Manin, Yuri I. (2013). Métodos de álgebra homológica . Saltador. ISBN 978-3-662-12492-5.
- Allegretti, Dylan GL "Conjuntos simples y teorema de van Kampen" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.539.7411 . (Una introducción elemental a los conjuntos simpliciales) .
- Quillen, Daniel (1973). "Teoría K algebraica superior: I". En Bass, Hyman (ed.). Teorías K superiores . Apuntes de clase en matemáticas. 341 . Springer-Verlag. págs. 85-147. ISBN 3-540-06434-6.
- Segal, Graeme B. (1974). "Categorías y teorías de cohomología" . Topología . 13 (3): 293–312. doi : 10.1016 / 0040-9383 (74) 90022-6 .
Otras lecturas
- Riehl, Emily . "Una introducción pausada a los conjuntos simplicial" (PDF) .
- conjunto simplicial en nLab