Conjunto julia

En el contexto de la dinámica compleja , una rama de las matemáticas , el conjunto de Julia y el conjunto de Fatou son dos conjuntos complementarios (Julia "cordones" y Fatou "polvos") definidos a partir de una función . De manera informal, el conjunto Fatou de la función consiste en valores con la propiedad de que todos los valores cercanos se comportan de manera similar bajo iteración repetida de la función, y el conjunto de Julia consiste en valores tales que una perturbación arbitrariamente pequeña puede causar cambios drásticos en la secuencia de la función iterada. valores. Por tanto, el comportamiento de la función en el conjunto de Fatou es "regular", mientras que en el conjunto de Julia su comportamiento es " caótico ".

El conjunto de Julia de una función   f   se denota comúnmente y el conjunto de Fatou se denota ^[a] Estos conjuntos llevan el nombre de los matemáticos franceses Gaston Julia ^[1] y Pierre Fatou ^[2], cuyo trabajo inició el estudio de la dinámica compleja a principios del siglo XX. siglo.${\ Displaystyle \ operatorname {J} (f),}$${\ Displaystyle \ operatorname {F} (f).}$

Sea una función holomórfica no constante de la esfera de Riemann sobre sí misma. Tales funciones son precisamente las funciones racionales complejas no constantes , es decir, donde y son polinomios complejos . Supongamos que p y q no tienen comunes raíces , y al menos uno tiene grado mayor que 1. Entonces hay un número finito de conjuntos abiertos que son invariantes por la izquierda y son tales que:${\ Displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle f (z) = p (z) / q (z)}$${\ Displaystyle p (z)}$${\ Displaystyle q (z)}$ ${\ Displaystyle F_ {1}, ..., F_ {r}}$${\ Displaystyle f (z)}$

La última afirmación significa que los extremos de las secuencias de iteraciones generadas por los puntos de son precisamente el mismo conjunto, que entonces es un ciclo finito, o son ciclos finitos de conjuntos de forma circular o anular que se encuentran concéntricamente. En el primer caso el ciclo es atrayente , en el segundo caso es neutral .${\ Displaystyle F_ {i}}$

Un conjunto de Julia

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Cortes tridimensionales a través del conjunto de Julia (tetradimensional) de una función en los cuaterniones

Conjunto de Julia (en blanco) para la función racional asociada al método de Newton para f  : z → z ³ −1. Coloración de Fatou en tonos rojos, verdes y azules según los tres atractores (las tres raíces de f ).

Las líneas equipotenciales para la iteración hacia el infinito

Líneas de campo para una iteración del formulario ${\ Displaystyle {\ frac {(1-z ^ {3} / 6)} {(zz ^ {2} / 2) ^ {2}}} + c}$

Imágenes en las líneas de campo para una iteración del formulario ${\ Displaystyle z ^ {2} + c}$

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Descomposición binaria del interior en caso de ángulo interno 0

Un diagrama de conjunto de Julia, generado usando IIM aleatorio

Un diagrama de conjunto de Julia, generado usando MIIM