En la teoría de números aditivos , el teorema de números poligonales de Fermat establece que cada entero positivo es una suma de, como máximo, n n números -gonales . Es decir, cada entero positivo puede escribirse como la suma de tres o menos números triangulares , y como la suma de cuatro o menos números cuadrados , y como la suma de cinco o menos números pentagonales , y así sucesivamente. Es decir, los números n -gonales forman una base aditiva de orden n .
Ejemplos de
Tres de estas representaciones del número 17, por ejemplo, se muestran a continuación:
- 17 = 10 + 6 + 1 ( números triangulares )
- 17 = 16 + 1 ( números cuadrados )
- 17 = 12 + 5 ( números pentagonales ).
Historia
El teorema lleva el nombre de Pierre de Fermat , quien lo declaró, en 1638, sin pruebas, prometiendo escribirlo en una obra separada que nunca apareció. [1] Joseph Louis Lagrange probó el caso del cuadrado en 1770, que establece que cada número positivo se puede representar como una suma de cuatro cuadrados, por ejemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1 . [1] Gauss probó el caso triangular en 1796, conmemorando la ocasión escribiendo en su diario la línea " ΕΥΡΗΚΑ! Num = Δ + Δ + Δ ", [2] y publicó una prueba en su libro Disquisitiones Arithmeticae . Por esta razón, el resultado de Gauss a veces se conoce como el teorema de Eureka . [3] El teorema del número poligonal completo no se resolvió hasta que fue finalmente probado por Cauchy en 1813. [1] La demostración de Nathanson (1987) se basa en el siguiente lema debido a Cauchy:
Para enteros positivos impares a y b tales que b 2 <4 a y 3 a < b 2 + 2 b + 4 podemos encontrar enteros no negativos s , t , u y v tales que a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 y b = s + t + u + v .
Ver también
Notas
- ↑ a b c Heath (1910) .
- ^ Bell, Eric Temple (1956), "Gauss, el príncipe de los matemáticos", en Newman, James R. (ed.), El mundo de las matemáticas , I , Simon & Schuster , págs. 295–339. Reimpresión de Dover, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
- ^ Ono, Ken; Petirrojos, Sinaí; Wahl, Patrick T. (1995), "Sobre la representación de enteros como sumas de números triangulares", Aequationes Mathematicae , 50 (1–2): 73–94, doi : 10.1007 / BF01831114 , MR 1336863.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Teorema del número poligonal de Fermat" . MathWorld .
- Heath, Sir Thomas Little (1910), Diofanto de Alejandría; un estudio sobre la historia del álgebra griega , Cambridge University Press, pág. 188.
- Nathanson, Melvyn B. (1987), "Una prueba breve del teorema del número poligonal de Cauchy", Proceedings of the American Mathematical Society , 99 (1): 22-24, doi : 10.2307 / 2046263 , MR 0866422.
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Teoría de números aditivos Las bases clásicas , Berlín: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6. Tiene pruebas del teorema de Lagrange y del teorema del número poligonal.