Un número primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo , un tipo de número primo de secuencia entera .
No. de términos conocidos | 51 |
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Conjeturaba que no. de términos | Infinito [1] |
Primeros términos | 2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 |
Término más grande conocido | F 3340367 |
Índice OEIS |
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Los primeros números primos de Fibonacci son (secuencia A005478 en la OEIS ):
Primos de Fibonacci conocidos
¿Hay un número infinito de números primos de Fibonacci?
No se sabe si hay infinitos números primos de Fibonacci. Con la indexación comenzando con F 1 = F 2 = 1 , los primeros 34 son F n para los n valores (secuencia A001605 en la OEIS ):
- n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839, 104911.
Además de estos primos de Fibonacci probados, se han encontrado probables primos para
- n = 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353, 3244369, 3340367. [2]
Excepto por el caso n = 4, todos los números primos de Fibonacci tienen un índice primo, porque si a divide a b , entonces también divide , pero no todo primo es el índice de un primo de Fibonacci.
F p es primo para 8 de los primeros 10 primos p ; las excepciones son F 2 = 1 y F 19 = 4181 = 37 × 113. Sin embargo, los números primos de Fibonacci parecen volverse más raros a medida que aumenta el índice. F p es primo para solo 26 de los 1,229 primos p por debajo de 10,000. [3] El número de factores primos en los números de Fibonacci con índice primo son:
- 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ... (secuencia A080345 en la OEIS )
A marzo de 2017[actualizar], la prima de Fibonacci más grande conocida es F 104911 , con 21925 dígitos. Mathew Steine y Bouk de Water demostraron que era primo en 2015. [4] El principal fibonacci probable más grande conocido es F 3340367 . Fue encontrado por Henri Lifchitz en 2018. [2] Nick MacKinnon demostró que los únicos números de Fibonacci que también son miembros del conjunto de primos gemelos son 3, 5 y 13. [5]
Divisibilidad de los números de Fibonacci
Un primo divide si y solo si p es congruente con ± 1 módulo 5, y p dividesi y solo si es congruente con ± 2 módulo 5. (Para p = 5, F 5 = 5 entonces 5 divide F 5 )
Los números de Fibonacci que tienen un índice primo p no comparten ningún divisor común mayor que 1 con los números de Fibonacci anteriores, debido a la identidad: [6]
lo que implica la infinitud de primos ya que es divisible por al menos un primo para todos .
Para n ≥ 3 , F n divide F m sif n divide m . [7]
Si suponemos que m es un número primo p , y n es menor que p , entonces está claro que F p , no puede compartir ningún divisor común con los números de Fibonacci precedentes.
Esto significa que F p siempre tendrá factores característicos o será un factor característico principal en sí mismo. El número de factores primos distintos de cada número de Fibonacci se puede expresar en términos simples.
- F nk es un múltiplo de F k para todos los valores de n y k tales que n ≥ 1 y k ≥ 1. [8] Es seguro decir que F nk tendrá "al menos" el mismo número de factores primos distintos que F k . Todo F p no tendrá factores de F k , pero "al menos" un nuevo primo característico del teorema de Carmichael .
- El teorema de Carmichael se aplica a todos los números de Fibonacci excepto a 4 casos especiales: y Si miramos los factores primos de un número de Fibonacci, habrá al menos uno de ellos que nunca antes ha aparecido como factor en ningún número de Fibonacci anterior. Sea π n el número de factores primos distintos de F n . (secuencia A022307 en la OEIS )
- Si k | n entonces excepto por
- Si k = 1 y n es un primo impar, entonces 1 | p y
norte | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
F n | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 | 10946 | 17711 | 28657 | 46368 | 75025 |
π n | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 3 | 2 | 4 | 3 | 2 | 1 | 4 | 2 |
El primer paso para encontrar el cociente característico de cualquier F n es dividir los factores primos de todos los números de Fibonacci anteriores F k para los cuales k | n . [9]
Los cocientes exactos que quedan son factores primos que aún no han aparecido.
Si p y q son primos, entonces todos los factores de F pq son característicos, excepto los de F p y F q .
Por lo tanto:
El número de factores primos distintos de los números de Fibonacci con un índice primo es directamente relevante para la función de conteo. (secuencia A080345 en la OEIS )
pag | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
π p | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 | 4 |
Rango de aparición
Para un primo p , el índice más pequeño u > 0 tal que F u es divisible por p se llama rango de aparición (a veces llamado punto de entrada de Fibonacci ) de p y se denota a ( p ). El rango de aparición a ( p ) se define para cada primo p . [10] El rango de aparición divide el período Pisano π ( p ) y permite determinar todos los números de Fibonacci divisibles por p . [11]
Para la divisibilidad de los números de Fibonacci por las potencias de un primo, y
En particular
Primarios Wall-Sun-Sun
Un primo p ≠ 2, 5 se llama un primo de Fibonacci-Wieferich o un primo de Wall-Sun-Sun si dónde
en el cual es el símbolo de Legendre definido como:
Se sabe que para p ≠ 2, 5, a ( p ) es un divisor de: [12]
Por cada primo p que no sea un primo Wall-Sun-Sun, como se ilustra en la siguiente tabla:
pag | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
una ( p ) | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 7 | 9 | 18 | 24 | 14 | 30 | 19 | 20 | 44 | dieciséis | 27 | 58 | 15 |
a ( p 2 ) | 6 | 12 | 25 | 56 | 110 | 91 | 153 | 342 | 552 | 406 | 930 | 703 | 820 | 1892 | 752 | 1431 | 3422 | 915 |
La existencia de números primos Wall-Sun-Sun es una conjetura.
Parte primitiva de Fibonacci
La parte primitiva de los números de Fibonacci son
- 1, 1, 2, 3, 5, 4, 13, 7, 17, 11, 89, 6, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 46, 15005, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 321, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, ... (secuencia A061446 en la OEIS )
El producto de los factores primos primitivos de los números de Fibonacci son
- 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251 ... (secuencia A178763 en la OEIS )
El primer caso de más de un factor primo primitivo es 4181 = 37 × 113 para .
La parte primitiva tiene un factor primo no primitivo en algunos casos. La relación entre las dos secuencias anteriores es
- 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, .... (secuencia A178764 en la OEIS )
Los números naturales n para los cuales tiene exactamente un factor primo primitivo son
- 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 65, 66, 72, 74, 75, 76, 82, 83, 93, 94, 98, 105, 106, 108, 111, 112, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 135, 136, 137, 140, 142, 144, 145, ... (secuencia A152012 en la OEIS )
Si y solo si un primo p está en esta secuencia, entonceses un primo de Fibonacci, y si y solo si 2 p está en esta secuencia, entonceses una prima de Lucas (dondees la secuencia de Lucas ), y si y solo si 2 n está en esta secuencia, entonces es una prima de Lucas.
Número de factores primos primitivos de están
- 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ... (secuencia A086597 en la OEIS )
El factor primo menos primitivo de están
- 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, 139, 2971215073, 1103, 97, 101, ... (secuencia A001578 en la OEIS )
Se conjetura que todos los factores primos de son primitivos cuando es un número primo. [13]
Ver también
- Número de lucas
Referencias
- ^ http://mathworld.wolfram.com/FibonacciPrime.html
- ^ a b PRP Top Records, búsqueda de: F (n) . Consultado el 5 de abril de 2018.
- ^ OEIS de Sloane : A005478 , OEIS : A001605
- ↑ Chris Caldwell, The Prime Database: U (104911) de Prime Pages . Estado: número de Fibonacci, prueba de primalidad de curva elíptica . Consultado el 5 de abril de 2018.
- ^ N. MacKinnon, Problema 10844, Amer. Matemáticas. Monthly 109, (2002), pág. 78
- ^ Paulo Ribenboim , Mis números, Mis amigos , Springer-Verlag 2000
- ^ Wells 1986, p.65
- ^ La magia matemática de los números de Fibonacci Factores de los números de Fibonacci
- ^ Jarden - Secuencias recurrentes, Volumen 1, Fibonacci trimestral, por el hermano U. Alfred
- ^ (secuencia A001602 en la OEIS )
- ^ John Vinson (1963). "La relación del período módulo m con el rango de aparición de m en la secuencia de Fibonacci" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 1 : 37–45.
- ^ Steven Vajda. Números de Fibonacci y Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Libros de Dover sobre matemáticas.
- ^ La magia matemática de los números de Fibonacci Números y primas de Fibonacci
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fibonacci Prime" . MathWorld .
- R. Knott números primos de Fibonacci
- Caldwell, Chris. Número de Fibonacci , número primo de Fibonacci y registro de números primos de Fibonacci en las páginas principales
- Factorización de los primeros 300 números de Fibonacci
- Factorización de números de Fibonacci y Lucas
- Pequeño programa Haskell paralelo para encontrar probables números primos de Fibonacci en haskell.org