En la geometría de Riemann , el radio de llenado de un Riemann colector X es un invariante métrica de X . Fue introducido originalmente en 1983 por Mikhail Gromov , quien lo usó para probar su desigualdad sistólica para variedades esenciales , generalizando enormemente la desigualdad del toro de Loewner y la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real , y creando geometría sistólica en su forma moderna.
El radio de llenado de un bucle simple C en el plano se define como el radio más grande, R > 0, de un círculo que encaja dentro de C :
Definición dual a través de vecindarios
Existe una especie de doble punto de vista que permite generalizar esta noción de una manera sumamente fructífera, como lo muestra Gromov. Es decir, consideramos el-barrios del bucle C , denotados
Como aumenta la -vecindario traga más y más del interior del bucle. El último punto que debe tragarse es precisamente el centro de un círculo inscrito más grande. Por lo tanto, podemos reformular la definición anterior definiendo ser el infame de tal que el bucle C se contrae hasta un punto en.
Dada una variedad compacta X incrustada en, digamos, el espacio euclidiano E , podríamos definir el radio de llenado en relación con la incrustación, minimizando el tamaño de la vecindaden el que X podría homotoparse con algo de menor dimensión, por ejemplo, con un poliedro de menor dimensión. Técnicamente es más conveniente trabajar con una definición homológica.
Definición homológica
Denote por A el anillo de coeficientes o , dependiendo de si X es orientable o no . Entonces la clase fundamental , denotada [X] , de una variedad compacta n- dimensional X , es un generador del grupo de homologíay ponemos
dónde es el homomorfismo de inclusión.
Para definir un radio de llenado absoluto en una situación en la que X está equipado con una métrica riemanniana g , Gromov procede de la siguiente manera. Uno explota la incrustación de Kuratowski . Uno incrusta X en el espacio de Banachde funciones Borel delimitadas en X , equipado con la norma sup. Es decir, mapeamos un punto a la función definido por la fórmula para todos , donde d es la función de distancia definida por la métrica. Por la desigualdad triangular tenemosy por lo tanto la incrustación es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una incrustación tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando X es el círculo de Riemann (¡la distancia entre puntos opuestos debe ser π , no 2!). Luego establecemos en la fórmula anterior, y defina
Propiedades
- El radio de llenado es como máximo un tercio del diámetro (Katz, 1983).
- El radio de llenado del espacio proyectivo real con una métrica de curvatura constante es un tercio de su diámetro de Riemann, ver (Katz, 1983). De manera equivalente, el radio de llenado es una sexta parte de la sístole en estos casos.
- El radio de llenado del círculo de Riemann de longitud 2π, es decir, el círculo unitario con la función de distancia de Riemann inducida, es igual a π / 3, es decir, una sexta parte de su longitud. Esto sigue al combinar el límite superior del diámetro mencionado anteriormente con el límite inferior de Gromov en términos de la sístole (Gromov, 1983)
- La sístole de una variedad esencial M es como máximo seis veces su radio de llenado, ver (Gromov, 1983).
- La desigualdad es óptima en el sentido de que el caso límite de igualdad se alcanza mediante los espacios proyectivos reales como se indicó anteriormente.
- El radio de inyectividad del colector compacto proporciona un límite inferior en el radio de llenado. A saber,
Ver también
Referencias
- Gromov, M .: Relleno de variedades de Riemann, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
- Katz, M .: El radio de llenado de espacios homogéneos de dos puntos. Journal of Differential Geometry 18, Número 3 (1983), 505-511.
- Katz , Mikhail G. (2007), geometría y topología sistólica , estudios y monografías matemáticas, 137 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978