En geometría diferencial , Mikhail Gromov 's zona de llenado conjetura afirma que el hemisferio tiene área mínima entre los orientables superficies que llenan una curva cerrada de longitud dada sin introducir atajos entre sus puntos.
Definiciones y enunciado de la conjetura.
Toda superficie lisa M o curva en el espacio euclidiano es un espacio métrico , en el que la distancia (intrínseca) d M ( x , y ) entre dos puntos x , y de M se define como el mínimo de las longitudes de las curvas que van desde x a y a lo largo de M . Por ejemplo, en una curva cerradade longitud 2 L , para cada punto x de la curva hay un otro punto único de la curva (llamado la antípoda de x ) a la distancia L de x .
Un compacto superficie M llena una curva cerrada C si su frontera (también llamado límite , denota ∂ M ) es la curva C . El relleno M se dice isométrico si para dos puntos cualesquiera x , y de la curva límite C , la distancia d M ( x , y ) entre ellos a lo largo de M es la misma (no menor) que la distancia d C ( x , y ) a lo largo del límite. En otras palabras, llenar una curva isométricamente es llenarla sin introducir atajos.
Pregunta: ¿Qué tan pequeña puede ser el área de una superficie que llena isométricamente su curva límite, de una longitud determinada?
Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, el círculo
(de longitud 2 π ) se llena con el disco plano
que no es un relleno isométrico, porque cualquier acorde recto a lo largo de él es un atajo. En contraste, el hemisferio
es un relleno isométrico del mismo círculo C , que tiene el doble del área del disco plano . ¿Es esta el área mínima posible?
La superficie se puede imaginar como hecha de un material flexible pero no estirable, que permite que se mueva y se doble en el espacio euclidiano. Ninguna de estas transformaciones modifica el área de la superficie ni la longitud de las curvas dibujadas en ella, que son las magnitudes relevantes para el problema. La superficie se puede eliminar del espacio euclidiano por completo, obteniendo una superficie de Riemann , que es una superficie lisa abstracta con una métrica de Riemann que codifica las longitudes y el área. Recíprocamente, de acuerdo con el teorema de Nash-Kuiper , cualquier superficie de Riemann con límite se puede incrustar en el espacio euclidiano conservando las longitudes y el área especificadas por la métrica de Riemann. Por lo tanto, el problema de llenado se puede plantear de manera equivalente como una pregunta sobre superficies de Riemann , que no se colocan en el espacio euclidiano de ninguna manera en particular.
- Conjetura ( Conjetura del área de llenado de Gromov, 1983): El hemisferio tiene un área mínima entre las superficies de Riemannian compactas orientables que llenan isométricamente su curva límite, de longitud dada. [1] : pág. 13
La prueba de Gromov para el caso de los discos riemannianos
En el mismo artículo donde Gromov planteó la conjetura, demostró que
- el hemisferio tiene la menor área entre las superficies de Riemann que llenan isométricamente un círculo de longitud determinada y son homeomórficas a un disco . [1]
Prueba: dejar ser un disco de Riemann que llena isométricamente su límite de longitud . Pega cada punto con su punto antipodal , definido como el punto único de que está a la máxima distancia posible de . Pegando de esta forma obtenemos una superficie riemanniana cerradaque es homeomorfo al plano proyectivo real y cuya sístole (la longitud de la curva no contráctil más corta) es igual a. (Y recíprocamente, si cortamos un plano proyectivo a lo largo de un bucle no contraíble más corto de longitud, obtenemos un disco que llena isométricamente su límite de longitud .) Por lo tanto, el área mínima que el relleno isométrico puede tener es igual al área mínima que un plano proyectivo de sístole de Riemann puede tener. Pero entonces la desigualdad sistólica de Pu afirma precisamente que un plano proyectivo de Riemann de una sístole dada tiene un área mínima si y solo si es redondo (es decir, obtenido de una esfera euclidiana identificando cada punto con su opuesto). El área de este plano proyectivo redondo es igual al área del hemisferio (porque cada uno de ellos tiene la mitad del área de la esfera).
La prueba de la desigualdad de Pu se basa, a su vez, en el teorema de uniformización .
Rellenos con métricas de Finsler
En 2001, Sergei Ivanov presentó otra forma de demostrar que el hemisferio tiene el área más pequeña entre los empastes isométricos homeomórficos de un disco. [2] [3] [4] Su argumento no emplea el teorema de uniformización y se basa en cambio en el hecho topológico de que dos curvas en un disco deben cruzarse si sus cuatro extremos están en el límite y entrelazados. Además, la demostración de Ivanov se aplica de manera más general a los discos con métricas de Finsler , que difieren de las métricas de Riemann en que no necesitan satisfacer la ecuación pitagórica en el nivel infinitesimal. El área de una superficie de Finsler se puede definir de varias formas desiguales, y la que se emplea aquí es el área de Holmes-Thompson , que coincide con el área habitual cuando la métrica es riemanniana. Lo que Ivanov demostró es que
- El hemisferio tiene un área mínima de Holmes-Thompson entre los discos de Finsler que llenan isométricamente una curva cerrada de longitud determinada.
Prueba del teorema de Ivanov |
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Let ( M , F ) ser un disco Finsler que llena isométricamente su límite de longitud 2 L . Podemos suponer que M es el disco redondo estándar en ℝ 2 , y la métrica Finsler F : T M = M × ℝ 2 → [0, + ∞) es suave y fuertemente convexa. [5] El área de Holmes-Thompson del relleno se puede calcular mediante la fórmula donde para cada punto , el conjunto es la bola de unidad dual de la norma (la bola unitaria de la norma dual ), y es su área habitual como un subconjunto de . Elige una colección de los puntos límite, enumerados en orden antihorario. Por cada punto, definimos en M la función escalar. Estas funciones tienen las siguientes propiedades:
En resumen, para casi todos los puntos interiores , los covectors son vértices, enumerados en orden antihorario, de un polígono convexo inscrito en la bola de unidad dual . El área de este polígono es(donde el índice i + 1 se calcula módulo n ). Por lo tanto, tenemos un límite inferior para la zona del relleno. Si definimos la forma 1, entonces podemos reescribir este límite inferior usando la fórmula de Stokes como
La integral de límite que aparece aquí se define en términos de las funciones de distancia restringidos al límite, que no dependen del relleno isométrico . Por lo tanto, el resultado de la integral depende solo de la ubicación de los puntosen el círculo de longitud 2L . Omitimos el cálculo y expresamos el resultado en términos de longitudes de cada arco límite en sentido antihorario desde un punto al siguiente punto . El cálculo es válido solo si. En resumen, nuestro límite inferior para el área del relleno isométrico de Finsler converge a como la colección está densificado. Esto implica que
como teníamos que demostrar. |
A diferencia del caso de Riemann, existe una gran variedad de discos de Finsler que llenan isométricamente una curva cerrada y tienen la misma área de Holmes-Thompson que el hemisferio. Si se usa el área de Hausdorff en su lugar, entonces la minimidad del hemisferio todavía se mantiene, pero el hemisferio se convierte en el minimizador único. Esto se sigue del teorema de Ivanov, ya que el área de Hausdorff de una variedad de Finsler nunca es menor que el área de Holmes-Thompson , y las dos áreas son iguales si y solo si la métrica es riemanniana.
No minimidad del hemisferio entre los empastes racionales con métricas de Finsler
Un disco euclidiano que llena un círculo puede ser reemplazado, sin disminuir las distancias entre los puntos del límite, por un disco de Finsler que llena el mismo círculo N = 10 veces (en el sentido de que su límite envuelve el círculo N veces), pero cuyo Holmes –El área de Thompson es menor que N veces el área del disco. [6] Para el hemisferio, se puede encontrar un reemplazo similar. En otras palabras, la conjetura del área de relleno es falsa si se permiten 2 cadenas de Finsler con coeficientes racionales como rellenos, en lugar de superficies orientables (que pueden considerarse como 2 cadenas con coeficientes enteros ).
Empastes de Riemann de género uno e hiperelipticidad
Una superficie riemanniana orientable del género uno que llena isométricamente el círculo no puede tener menos área que el hemisferio. [7] La prueba en este caso comienza nuevamente pegando puntos antípodas del límite. La superficie cerrada no orientable así obtenida tiene una doble cubierta orientable del género dos y, por tanto, es hiperelíptica . La demostración luego explota una fórmula de J. Hersch a partir de geometría integral. Es decir, considere la familia de bucles en forma de 8 en una pelota de fútbol, con el punto de auto-intersección en el ecuador. La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del fútbol, como un promedio de las energías de los bucles en forma de 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann demuestra la conjetura del área de llenado en este caso.
Los colectores casi planos son rellenos mínimos de sus distancias límite.
Si una variedad Riemanniana M (de cualquier dimensión) es casi plana (más precisamente, M es una región de con una métrica de Riemann que es -cerca de la métrica euclidiana estándar), entonces M es un minimizador de volumen : no puede ser reemplazado por una variedad Riemanniana orientable que llena el mismo límite y tiene menos volumen sin reducir la distancia entre algunos puntos del límite. [8] Esto implica que si un trozo de esfera es lo suficientemente pequeño (y por lo tanto, casi plano), entonces es un minimizador de volumen. Si este teorema puede extenderse a grandes regiones (es decir, a todo el hemisferio), entonces la conjetura del área de llenado es cierta. Se ha conjeturado que todas las variedades riemannianas simples (aquellas que son convexas en su límite, y donde cada dos puntos están unidos por una geodésica única) son minimizadores de volumen. [8]
La prueba de que cada colector M casi plano es un minimizador de volumen implica la incrustación de M en, y luego mostrar que cualquier reemplazo isométrico de M también se puede mapear en el mismo espacio, y se proyecta sobre M , sin aumentar su volumen. Esto implica que el reemplazo no tiene menos volumen que el colector M original .
Ver también
- Radio de llenado
- La desigualdad de Pu
- Geometría sistólica
Referencias
- ↑ a b Gromov, Mikhail (1983). "Llenado de colectores riemannianos" . J. Diff. Geom . 18 (1): 1-147. doi : 10.4310 / jdg / 1214509283 . Señor 0697984 .
- ^ Ivanov, Sergei V. (2001). "Sobre obturaciones mínimas bidimensionales". Álgebra i Analiz (en ruso). 13 (1): 26–38.
- ^ Ivanov, Sergei V. (2002). "Sobre obturaciones mínimas bidimensionales". San Petersburgo Math. J . 13 (1): 17-25. Señor 1819361 .
- ^ Ivanov, Sergei V. (2011). "Relleno de minimidad de 2 discos Finslerianos". Proc. Steklov Inst. Matemáticas . 273 (1): 176-190. arXiv : 0910.2257 . doi : 10.1134 / S0081543811040079 .
- ^ Si la métrica original no es suave y fuertemente convexa, la aproximamos por una que disfrute de estas propiedades.
- ^ Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2002). "Sobre volumen asintótico de Finsler Tori, superficies mínimas en espacios normativos y volumen de llenado simpléctico". Ana. de Matemáticas . 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347 . doi : 10.2307 / 3597285 . JSTOR 3597285 . Señor 1954238 .
- ^ Bangert, Victor; Croke, Christopher B .; Ivanov, Sergei; Katz, Mikhail G. (2005). "Conjetura de la zona de llenado y superficies hiperelípticas reales sin óvalo". Geom. Funct. Anal . 15 (3): 577–597. arXiv : matemáticas / 0405583 . doi : 10.1007 / S00039-005-0517-8 . Señor 2221144 .
- ^ a b Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2010). "Límite de rigidez y mínimo volumen de llenado de métricas cercanas a una plana" . Ana. de Matemáticas . 2. 171 (2): 1183–1211. doi : 10.4007 / annals.2010.171.1183 . Señor 2630062 .
- Katz , Mikhail G. (2007), geometría y topología sistólica , estudios y monografías matemáticas, 137 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8