En geometría diferencial , la desigualdad de Pu , demostrada por Pao Ming Pu , relaciona el área de una superficie homeomórfica riemanniana arbitraria con el plano proyectivo real con las longitudes de las curvas cerradas contenidas en él.
Declaración
Alumno de Charles Loewner , Pu demostró en su tesis de 1950 ( Pu 1952 ) que toda superficie riemannianahomeomorfo al plano proyectivo real satisface la desigualdad
dónde es la sístole de. La igualdad se logra precisamente cuando la métrica tiene una curvatura gaussiana constante .
En otras palabras, si todos los bucles no contratables en tener longitud al menos , luego y la igualdad se mantiene si y solo si se obtiene de una esfera euclidiana de radio identificando cada punto con su antípoda.
El artículo de Pu también estableció por primera vez la desigualdad de Loewner , un resultado similar para las métricas de Riemann en el toro .
Prueba
La demostración original de Pu se basa en el teorema de uniformización y emplea un argumento de promediado, como sigue.
Por uniformización, la superficie riemanniana es conforme a un plano proyectivo redondo. Esto significa que podemos suponer que la superficie se obtiene de la esfera unitaria euclidiana mediante la identificación de puntos antípodas, y el elemento de longitud de Riemann en cada punto es
dónde es el elemento de longitud euclidiana y la función , llamado factor conforme , satisface.
Más precisamente, la cubierta universal de es , un bucle no es contraíble si y solo si su elevación va de un punto a su opuesto, y la longitud de cada curva es
Sujeto a la restricción de que cada una de estas longitudes sea al menos , queremos encontrar un que minimiza el
dónde es la mitad superior de la esfera.
Una observación clave es que si promediamos varios que satisfacen la restricción de longitud y tienen la misma área , entonces obtenemos un mejor factor de conformidad , que también satisface la restricción de longitud y tiene
y la desigualdad es estricta a menos que las funciones son iguales.
Una forma de mejorar cualquier no constante es obtener las diferentes funciones de usando rotaciones de la esfera, definiendo . Si promediamos todas las rotaciones posibles , obtenemos unque es constante en toda la esfera. Podemos reducir aún más esta constante al valor mínimopermitido por la restricción de longitud. Luego obtenemos el obtener la métrica única que alcanza el área mínima.
Reformulación
Alternativamente, cada métrica de la esfera invariante bajo el mapa antípoda admite un par de puntos opuestos a distancia de Riemann satisfactorio
Puede encontrar una explicación más detallada de este punto de vista en la página Introducción a la geometría sistólica .
Conjetura del área de llenado
Una formulación alternativa de la desigualdad de Pu es la siguiente. De todos los posibles rellenos del círculo de longitud de Riemann por un -Disco dimensional con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene la menor área.
Para explicar esta formulación, partimos de la observación de que el círculo ecuatorial de la unidad -esfera es un círculo riemanniano de longitud . Más precisamente, la función de distancia de Riemann dese induce a partir de la distancia riemanniana ambiental en la esfera. Tenga en cuenta que esta propiedad no se satisface con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano. De hecho, la distancia euclidiana entre un par de puntos opuestos del círculo es solo, mientras que en el círculo de Riemann es .
Consideramos todos los empastes de por un -Disco dimensional, tal que la métrica inducida por la inclusión del círculo como límite del disco es la métrica de Riemann de un círculo de longitud . La inclusión del círculo como límite se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo.
Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" forma de llenar el círculo incluso cuando se permite que la superficie de llenado tenga un género positivo ( Gromov 1983 ).
Desigualdad isoperimétrica
La desigualdad de Pu tiene un curioso parecido con la desigualdad isoperimétrica clásica
para las curvas de Jordan en el plano, donde es la longitud de la curva mientras es el área de la región que limita. Es decir, en ambos casos una cantidad bidimensional (área) está limitada por (el cuadrado de) una cantidad unidimensional (longitud). Sin embargo, la desigualdad va en la dirección opuesta. Por tanto, la desigualdad de Pu se puede considerar como una desigualdad isoperimétrica "opuesta".
Ver también
Referencias
- Gromov, Mikhael (1983). "Llenado de colectores riemannianos" . J. Geom diferencial. 18 (1): 1-147. doi : 10.4310 / jdg / 1214509283 . Señor 0697984 .
- Gromov, Mikhael (1996). "Sístoles y desigualdades interesistólicas". En Besse, Arthur L. (ed.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Actas de la mesa redonda sobre geometría diferencial ]. Séminaires et Congrès. 1 . París: Soc. Matemáticas. Francia. págs. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. Señor 1427752 .
- Gromov, Misha (1999) [1981]. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progreso en Matemáticas. 152 . Con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes. Traducido del francés por Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9. Señor 1699320 .
- Katz, Mikhail G. (2007). Geometría y topología sistólica . Encuestas y Monografías Matemáticas. 137 . Con un apéndice de J. Solomon. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . doi : 10.1090 / surv / 137 . ISBN 978-0-8218-4177-8. Señor 2292367 .
- Pu, Pao Ming (1952). "Algunas desigualdades en ciertas variedades riemannianas no orientables" . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140 / pjm.1952.2.55 . Señor 0048886 .