En geometría diferencial , la desigualdad del toro de Loewner es una desigualdad debida a Charles Loewner . Relaciona la sístole y el área de una métrica riemanniana arbitraria en el 2-toro .
Declaración
En 1949, Charles Loewner demostró que todas las métricas del toro 2 satisface la desigualdad óptima
donde "sys" es su sístole , es decir, la menor longitud de un bucle no contraíble. La constante que aparece en el lado derecho es la constante de Hermite en la dimensión 2, por lo que la desigualdad del toro de Loewner se puede reescribir como
La desigualdad se mencionó por primera vez en la literatura en Pu (1952) .
Caso de igualdad
El caso límite de igualdad se logra si y solo si la métrica es plana y homotética al llamado toro equilátero , es decir, toro cuyo grupo de transformaciones de cubierta es precisamente la celosía hexagonal atravesada por las raíces cúbicas de la unidad en.
Formulación alternativa
Dada una métrica doblemente periódica en (por ejemplo, una incrustación en que es invariante por un acción isométrica), hay un elemento distinto de cero y un punto tal que , dónde es un dominio fundamental para la acción, mientras es la distancia de Riemann, es decir, la longitud mínima de un camino que une y .
Prueba de la desigualdad del toroide de Loewner
La desigualdad del toro de Loewner se puede probar más fácilmente utilizando la fórmula computacional para la varianza,
Es decir, la fórmula se aplica a la medida de probabilidad definida por la medida del toro plano de área unitaria en la clase conforme del toro dado. Para la variable aleatoria X , se toma el factor conforme de la métrica dada con respecto a la plana. Entonces, el valor esperado E ( X 2 ) de X 2 expresa el área total de la métrica dada. Mientras tanto, el valor esperado E ( X ) de X puede relacionarse con la sístole usando el teorema de Fubini . La varianza de X se puede considerar entonces como el defecto isosistólico, análogo al defecto isoperimétrico de la desigualdad de Bonnesen . Por lo tanto, este enfoque produce la siguiente versión de la desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico:
donde f es el factor conforme de la métrica con respecto a una métrica plana de área unitaria en su clase conforme.
Género superior
Si la desigualdad o no
se satisface por todas las superficies de la característica de Euler no positiva se desconoce. Para superficies orientables del género 2 y del género 20 y superiores, la respuesta es afirmativa, consulte el trabajo de Katz y Sabourau a continuación.
Ver también
Referencias
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