En el álgebra lineal , una rama de las matemáticas , la identidad de polarización es cualquiera de una familia de fórmulas que expresan el producto interno de dos vectores en términos de la norma de un espacio vectorial normalizado . De manera equivalente, la identidad de polarización describe cuándo se puede suponer que una norma surge de un producto interno. En esa terminología: [1] [2]
- En un espacio normado ( V , ), si se cumple la ley del paralelogramo , entonces hay un producto interno en V tal que para todos .
Fórmulas
Cualquier producto interno en un espacio vectorial induce una norma por la ecuación
Las identidades de polarización invierten esta relación, recuperando el producto interno de la norma.
Espacios vectoriales reales
Si el espacio vectorial está por encima de los reales , entonces expandir los cuadrados de los binomios revela
Estas diversas formas son todas equivalentes por la ley del paralelogramo :
Espacios vectoriales complejos
Para espacios vectoriales sobre números complejos , las fórmulas anteriores no son del todo correctas. Ellos asumenpero para un producto interno complejo, esta suma anula en cambio la parte imaginaria . Sin embargo, una expresión análoga asegura que se conserven tanto las partes reales como las imaginarias. La parte real de cualquier producto interno (sin importar qué coordenada sea antilineal y sin importar si es real o compleja) es un mapa bilineal simétrico que siempre es igual a:
La parte compleja del producto interno depende de si es antilineal en la primera o en la segunda coordenada.
Si el producto interior es antilineal en la primera coordenada, luego para todos
La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.
Si el producto interior es antilineal en la segunda coordenada entonces para todos
Esta expresión se puede redactar de forma simétrica:
Reconstruyendo el producto interior
En un espacio normado ( V ,), si la ley del paralelogramo
se mantiene, entonces hay un producto interno en V tal que para todos .
Prueba
Aquí solo daremos el caso real; la prueba de espacios vectoriales complejos es análoga.
Por las fórmulas anteriores, si la norma es descrita por un producto interno (como esperamos), entonces debe satisfacer
- para todos
Necesitamos probar que esta fórmula define un producto interno que induce la norma . Es decir, debemos mostrar:
- para todos
- para todos y todo
(Esta axiomatización omite la positividad , que está implícita en (1) y el hecho de que || · || es una norma).
Para las propiedades (1) y (2), simplemente sustituimos: , y .
Para la propiedad (3), es conveniente trabajar al revés. Buscamos mostrar que
Equivalentemente,
Ahora aplicamos la identidad de paralelogramo:
Por tanto, la afirmación que buscamos es
Pero la última afirmación se puede verificar restando las siguientes dos aplicaciones adicionales de la identidad del paralelogramo:
Por lo tanto (3) se mantiene.
Es sencillo verificar por inducción que (3) implica (4), siempre que nos limitemos a Pero "(4) cuando "implica" (4) cuando ". Y cualquier positivo-definido, valor real ,-forma bilineal satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz , de modo quees continuo. Por lo tanto debe ser -lineal también.
Aplicación a productos punteados
Relación con la ley de los cosenos.
La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como
Esta es esencialmente una forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores, , y . En particular,
dónde es el ángulo entre los vectores y .
Derivación
La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación
Luego
y de manera similar
Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización siguen ahora resolviendo estas ecuaciones para u · v , mientras que la forma (3) se sigue de restar estas dos ecuaciones. (La suma de estas dos ecuaciones da la ley del paralelogramo).
Generalizaciones
Formas bilineales simétricas
Las identidades de polarización no se limitan a productos internos. Si B es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial, y Q es la forma cuadrática definida por
luego
El llamado mapa de simetrización generaliza la última fórmula, reemplazando Q por un polinomio homogéneo de grado k definido por Q ( v ) = B ( v , ..., v ), donde B es un mapa k- lineal simétrico . [4]
Las fórmulas anteriores se aplican incluso en el caso en que el campo de escalares tiene la característica dos, aunque los lados izquierdos son todos cero en este caso. En consecuencia, en la característica dos no existe una fórmula para una forma bilineal simétrica en términos de una forma cuadrática, y de hecho son nociones distintas, un hecho que tiene importantes consecuencias en la teoría L ; por brevedad, en este contexto, las "formas bilineales simétricas" se denominan a menudo "formas simétricas".
Estas fórmulas también se aplican a formas bilineales en módulos sobre un anillo conmutativo , aunque nuevamente uno solo puede resolver para B ( u , v ) si 2 es invertible en el anillo, y de lo contrario, estas son nociones distintas. Por ejemplo, sobre los números enteros, se distinguen las formas cuadráticas integrales de las formas simétricas integrales , que son una noción más restringida.
Más generalmente, en presencia de una involución de anillo o donde 2 no es invertible, se distinguen formas ε-cuadráticas y formas ε-simétricas ; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se llama "mapa de simetrización", y en general no es un isomorfismo. Esta ha sido históricamente una distinción sutil: sobre los enteros no fue hasta la década de 1950 que se entendió la relación entre "dos fuera" (forma cuadrática integral ) y "dos en" (forma integral simétrica ) - ver discusión en forma cuadrática integral ; y en la algebraización de la teoría de la cirugía , Mishchenko usó originalmente grupos L simétricos , en lugar de los grupos L cuadráticos correctos (como en Wall y Ranicki) - ver discusión en L-teoría .
Polinomios homogéneos de mayor grado
Finalmente, en cualquiera de estos contextos estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (es decir, formas algebraicas ) de grado arbitrario , donde se conoce como la fórmula de polarización , y se revisa con mayor detalle en el artículo sobre la polarización de un algebraico. forma .
notas y referencias
- ^ Philippe Blanchard , Erwin Brüning (2003). "Proposición 14.1.2 (Fréchet-von Neumann-Jordan)" . Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert y métodos variacionales . Birkhäuser. pag. 192. ISBN 0817642285.
- ^ Gerald Teschl (2009). "Teorema 0.19 (Jordan – von Neumann)". Métodos matemáticos en mecánica cuántica: con aplicaciones a los operadores de Schrödinger . Librería de la Sociedad Americana de Matemáticas. pag. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
- ^ Butler, Jon (20 de junio de 2013). "norma - ¿Derivación de las identidades de polarización?" . Intercambio de pila de matemáticas . Archivado desde el original el 14 de octubre de 2020 . Consultado el 14 de octubre de 2020 . Vea la respuesta de Harald Hanche-Olson.
- ^ Mayordomo, 2013 . Vea la respuesta de Keith Conrad (KCd).