En matemáticas , en el campo de la teoría del potencial , la topología fina es una topología natural para establecer el estudio de funciones subarmónicas . En los primeros estudios de las funciones subarmónicas, es decir, aquellas para las que dónde es el laplaciano , solo se consideraron funciones suaves . En ese caso, era natural considerar solo la topología euclidiana , pero con el advenimiento de las funciones subarmónicas semicontinuas superiores introducidas por F. Riesz , la topología fina se convirtió en la herramienta más natural en muchas situaciones.
Definición
La fina topología en el espacio euclidiano. se define como la topología más burda que hace que todas las funciones subarmónicas (equivalentemente todas las funciones superarmónicas) sean continuas . Los conceptos en la topología fina normalmente tienen el prefijo "fino" para distinguirlos de los conceptos correspondientes en la topología habitual, como por ejemplo "vecindad fina" o "continuo fino".
Observaciones
La topología fina fue introducida en 1940 por Henri Cartan para ayudar en el estudio de conjuntos delgados e inicialmente se consideró algo patológica debido a la ausencia de una serie de propiedades, como la compacidad local, que son tan frecuentemente útiles en el análisis. El trabajo posterior ha demostrado que la falta de tales propiedades se compensa en cierta medida por la presencia de otras propiedades ligeramente menos fuertes, como la propiedad cuasi-Lindelöf .
En una dimensión, es decir, en la línea real , la topología fina coincide con la topología habitual ya que en ese caso las funciones subarmónicas son precisamente las funciones convexas que ya son continuas en la topología habitual (euclidiana). Por lo tanto, la topología fina es de mayor interés en dónde . La topología fina en este caso es estrictamente más fina que la topología habitual, ya que hay funciones subarmónicas discontinuas.
Cartan observó en correspondencia con Marcel Brelot que es igualmente posible desarrollar la teoría de la topología fina utilizando el concepto de "delgadez". En este desarrollo, un conjuntoes delgado en un punto si existe una función subarmónica definido en un barrio de tal que
Entonces, un conjunto es un buen barrio de si y solo si el complemento de es delgado en .
Propiedades de la topología fina
La topología fina es, de alguna manera, mucho menos manejable que la topología habitual en el espacio euclidiano, como lo demuestra lo siguiente (tomando ):
- Un conjunto en está bien compacto si y solo si es finito.
- La topología fina en no es localmente compacto (aunque es Hausdorff ).
- La topología fina en no es primer contable , segundo contable o metrizable .
La topología fina tiene al menos algunas propiedades 'mejores':
- La topología fina tiene la propiedad Baire .
- La topología fina en está conectado localmente .
La topología fina no posee la propiedad Lindelöf pero tiene la propiedad cuasi-Lindelöf un poco más débil:
- Una unión arbitraria de subconjuntos abiertos finos de se diferencia por un conjunto polar de alguna subunión contable.
Referencias
- Conway, John B. , Funciones de una variable compleja II , Textos de posgrado en matemáticas , 159 , Springer-Verlag , págs. 367–376, ISBN 0-387-94460-5
- Doob, JL , Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística , Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41206-9
- Helms, LL (1975), Introducción a la teoría del potencial , RE Krieger, ISBN 0-88275-224-3