En matemáticas , un conjunto de Kakeya , o conjunto de Besicovitch , es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitaria en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano , o una bola de radio 1/2 en un espacio tridimensional, forma un conjunto Kakeya. Gran parte de la investigación en esta área ha estudiado el problema de cuán pequeños pueden ser estos conjuntos. Besicovitch demostró que existen conjuntos de Besicovitch de medida cero .
Un conjunto de agujas Kakeya (a veces también conocido como conjunto Kakeya) es un conjunto (Besicovitch) en el plano con una propiedad más fuerte, que un segmento de línea unitaria se puede rotar continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con orientación invertida. . Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un juego de agujas Kakeya.
Problema de la aguja de Kakeya
El problema de la aguja de Kakeya pregunta si hay un área mínima de una región D en el plano, en la que una aguja de longitud unitaria se puede girar 360 °. Esta pregunta fue planteada por primera vez, para regiones convexas , por Sōichi Kakeya ( 1917 ). El área mínima para conjuntos convexos se logra mediante un triángulo equilátero de altura 1 y área 1 / √ 3 , como mostró Pál . [1]
Kakeya parece haber sugerido que el conjunto D de Kakeya de área mínima, sin la restricción de convexidad, sería una forma deltoidea de tres puntas . Sin embargo, esto es falso; hay conjuntos Kakeya no convexos más pequeños.
Conjuntos Besicovitch
Besicovitch pudo demostrar que no existe un límite inferior> 0 para el área de dicha región D , en la que se puede girar una aguja de longitud unitaria. [2] Esto se basó en un trabajo anterior suyo, en conjuntos de planos que contienen un segmento unitario en cada orientación. Un conjunto de este tipo ahora se llama conjunto de Besicovitch . El trabajo de Besicovitch que muestra que tal conjunto podría tener una medida arbitrariamente pequeña fue de 1919. Es posible que los analistas hayan considerado el problema antes de eso.
Un método para construir un conjunto de Besicovitch (ver figura para las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol de Perron" en honor a Oskar Perron, quien pudo simplificar la construcción original de Besicovitch: [3] tomar un triángulo con altura 1, dividirlo en dos y traslade ambas piezas una sobre la otra de modo que sus bases se superpongan en un pequeño intervalo. Entonces esta nueva figura tendrá un área total reducida.
Ahora, suponga que dividimos nuestro triángulo en ocho subtriángulos. Para cada par consecutivo de triángulos, realice la misma operación de superposición que describimos antes para obtener cuatro formas nuevas, cada una de las cuales consta de dos triángulos superpuestos. A continuación, superponga pares consecutivos de estas nuevas formas cambiando sus bases entre sí parcialmente, de modo que nos queden con dos formas y, finalmente, superponga estas dos de la misma manera. Al final, obtenemos una forma que se parece un poco a un árbol, pero con un área mucho más pequeña que nuestro triángulo original.
Para construir un conjunto aún más pequeño, subdivide tu triángulo en, digamos, 2 n triángulos cada uno de longitud base 2 - n , y realiza las mismas operaciones que hicimos antes cuando dividimos nuestro triángulo dos y ocho veces. Si tanto la cantidad de superposición que hacemos en cada triángulo como el número n de la subdivisión de nuestro triángulo son lo suficientemente grandes, podemos formar un árbol de área tan pequeña como queramos. Se puede crear un conjunto de Besicovitch combinando tres rotaciones de un árbol de Perron creado a partir de un triángulo equilátero.
Adaptando aún más este método, podemos construir una secuencia de conjuntos cuya intersección es un conjunto de Besicovitch de medida cero. Una forma de hacer esto es observar que si tenemos cualquier paralelogramo, dos de cuyos lados están en las líneas x = 0 y x = 1, entonces podemos encontrar una unión de paralelogramos también con lados en estas líneas, cuya área total es arbitrariamente pequeña. y que contienen traducciones de todas las líneas que unen un punto en x = 0 a un punto en x = 1 que están en el paralelogramo original. Esto se sigue de una ligera variación de la construcción de Besicovich anterior. Repitiendo esto podemos encontrar una secuencia de conjuntos
cada una es una unión finita de paralelogramos entre las líneas x = 0 y x = 1, cuyas áreas tienden a cero y cada una de las cuales contiene traducciones de todas las líneas que unen x = 0 y x = 1 en un cuadrado unitario. La intersección de estos conjuntos es entonces un conjunto de medida 0 que contiene traducciones de todas estas líneas, por lo que una unión de dos copias de esta intersección es un conjunto de medida 0 de Besicovich.
Existen otros métodos para construir conjuntos de medida cero de Besicovitch además del método de "brotación". Por ejemplo, Kahane usa conjuntos de Cantor para construir un conjunto Besicovitch de medida cero en el plano bidimensional. [4]
Juegos de agujas Kakeya
Mediante el uso de un truco de Pál , conocido como uniones Pál (dadas dos líneas paralelas, cualquier segmento de línea unitaria se puede mover continuamente de uno a otro en un conjunto de medida pequeña arbitraria), un conjunto en el que se puede rotar un segmento de línea unitaria continuamente a través de 180 grados se puede crear a partir de un conjunto Besicovitch que consta de árboles Perron. [5]
En 1941, HJ Van Alphen [6] mostró que hay pequeños conjuntos de agujas Kakeya arbitrarias dentro de un círculo con radio 2 + ε (arbitrario ε> 0). En 1965 se encontraron juegos de agujas Kakeya simplemente conectados con un área más pequeña que el deltoides. Melvin Bloom e IJ Schoenberg presentaron de forma independiente juegos de agujas Kakeya con áreas que se acercan a, el número de Bloom-Schoenberg . Schoenberg conjeturó que este número es el límite inferior del área de juegos de agujas Kakeya simplemente conectados. Sin embargo, en 1971, F. Cunningham [7] mostró que, dado ε> 0, hay un conjunto de agujas Kakeya simplemente conectadas de área menor que ε contenido en un círculo de radio 1.
Aunque hay conjuntos de agujas Kakeya de medida positiva arbitrariamente pequeña y conjuntos de Besicovich de medida 0, no hay conjuntos de agujas Kakeya de medida 0.
Conjetura de Kakeya
Declaración
La misma pregunta de cuán pequeños podrían ser estos conjuntos de Besicovitch se planteó luego en dimensiones superiores, dando lugar a una serie de conjeturas conocidas colectivamente como las conjeturas de Kakeya , y han ayudado a iniciar el campo de las matemáticas conocido como teoría de la medida geométrica . En particular, si existen conjuntos de medida cero de Besicovitch, ¿podrían también tener una medida cero de Hausdorff de dimensión s para alguna dimensión menor que la dimensión del espacio en el que se encuentran? Esta pregunta da lugar a la siguiente conjetura:
- Conjetura de conjunto de Kakeya : Defina un conjunto de Besicovitch en R n como un conjunto que contiene un segmento de línea unitaria en cada dirección. ¿Es cierto que tales conjuntos tienen necesariamente una dimensión de Hausdorff y una dimensión de Minkowski iguales an ?
Se sabe que esto es cierto para n = 1, 2, pero solo se conocen resultados parciales en dimensiones superiores.
Función máxima de Kakeya
Una forma moderna de abordar este problema es considerar un tipo particular de función máxima , que construimos de la siguiente manera: Denote S n −1 ⊂ R n como la esfera unitaria en el espacio n -dimensional. Definirser el cilindro de longitud 1, radio δ> 0, centrado en el punto a ∈ R n , y cuyo lado largo es paralelo a la dirección del vector unitario e ∈ S n −1 . Luego, para una función f integrable localmente , definimos la función máxima de Kakeya de f como
donde m denota la medida de Lebesgue n- dimensional . Darse cuenta dese define para los vectores e en la esfera S n −1 .
Entonces hay una conjetura para estas funciones que, si es cierta, implicará la conjetura del conjunto de Kakeya para dimensiones superiores:
- Conjetura de la función máxima de Kakeya : Para todo ε> 0, existe una constante C ε > 0 tal que para cualquier función f y todo δ> 0, (vea el espacio lp para la notación)
Resultados
Algunos resultados para probar la conjetura de Kakeya son los siguientes:
- La conjetura de Kakeya es cierta para n = 1 (trivialmente) y n = 2 (Davies [8] ).
- En cualquier espacio n -dimensional, Wolff [9] mostró que la dimensión de un conjunto Kakeya debe ser al menos ( n +2) / 2.
- En 2002, Katz y Tao [10] mejoraron el límite de Wolff para, que es mejor para n > 4.
- En 2000, Katz , Łaba y Tao [11] demostraron que la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Kakeya en 3 dimensiones es estrictamente mayor que 5/2.
- En 2000, Jean Bourgain conectó el problema de Kakeya con la combinatoria aritmética [12] [13] que involucra el análisis armónico y la teoría de números aditivos .
- En 2017, Katz y Zahl [14] mejoraron el límite inferior de la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de Besicovitch en 3 dimensiones para para una constante absoluta .
Aplicaciones al análisis
Sorprendentemente, se ha demostrado que estas conjeturas están conectadas con una serie de cuestiones en otros campos, especialmente en el análisis armónico . Por ejemplo, en 1971, Charles Fefferman [15] pudo usar la construcción de conjuntos de Besicovitch para mostrar que en dimensiones mayores que 1, las integrales de Fourier truncadas tomadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden al infinito no necesitan converger en la norma L p cuando p ≠ 2 (esto contrasta con el caso unidimensional donde tales integrales truncadas convergen).
Analogos y generalizaciones del problema de Kakeya
Conjuntos que contienen círculos y esferas
Los análogos del problema de Kakeya incluyen considerar conjuntos que contienen formas más generales que líneas, como círculos.
- En 1997 [16] y 1999, [17] Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cada radio deben tener una dimensión completa, es decir, la dimensión es igual a la dimensión del espacio en el que se encuentra, y lo demostró probando límites en una función máxima circular análoga a la función máxima de Kakeya.
- Se conjeturaba que existían conjuntos que contenían una esfera alrededor de cada punto de medida cero. Los resultados de Elias Stein [18] demostraron que todos estos conjuntos deben tener una medida positiva cuando n ≥ 3, y Marstrand [19] demostró lo mismo para el caso n = 2 .
Conjuntos que contienen discos k- dimensionales
Una generalización de la conjetura de Kakeya es considerar conjuntos que contienen, en lugar de segmentos de líneas en todas las direcciones, pero, digamos, porciones de subespacios k- dimensionales. Defina un conjunto ( n , k ) -Besicovitch K para que sea un conjunto compacto en R n que contenga una traslación de cada disco unitario k -dimensional que tenga la medida de Lebesgue cero. Es decir, si B indica la bola unidad centrada en cero, para cada k -dimensional subespacio P , existe x ∈ R n tal que ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Por tanto, un conjunto Besicovitch ( n , 1) es el conjunto Besicovitch estándar descrito anteriormente.
- La conjetura ( n , k ) -Besicovitch: No hay conjuntos ( n , k ) -Besicovitch para k > 1.
En 1979, Marstrand [20] demostró que no había conjuntos (3, 2) -Besicovitch. Aproximadamente al mismo tiempo, sin embargo, Falconer [21] demostró que no había conjuntos ( n , k ) -Besicovitch para 2 k > n . El mejor límite hasta la fecha es el de Bourgain, [22] quien demostró que no existen tales conjuntos cuando 2 k −1 + k > n .
Kakeya establece en espacios vectoriales sobre campos finitos
En 1999, Wolff planteó el campo finito análogo al problema de Kakeya, con la esperanza de que las técnicas para resolver esta conjetura pudieran trasladarse al caso euclidiano.
- Conjetura de Kakeya de campo finito : Sea F un campo finito, sea K ⊆ F n un conjunto de Kakeya, es decir, para cada vector y ∈ F n existe x ∈ F n tal que K contiene una línea { x + ty : t ∈ F }. Entonces el conjunto K tiene un tamaño de al menos c n | F | n donde c n > 0 es una constante que solo depende de n .
Zeev Dvir demostró esta conjetura en 2008, mostrando que la declaración es válida para c n = 1 / n !. [23] [24] En su demostración, observó que cualquier polinomio en n variables de grado menor que | F | la desaparición en un conjunto de Kakeya debe ser idénticamente cero. Por otro lado, los polinomios en n variables de grado menor que | F | formar un espacio vectorial de dimensión
Por lo tanto, hay al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F | que desaparece en cualquier conjunto dado con menos de este número de puntos. La combinación de estas dos observaciones muestra que los conjuntos de Kakeya deben tener al menos | F | n / n ! puntos.
No está claro si las técnicas se extenderán para probar la conjetura original de Kakeya, pero esta prueba da crédito a la conjetura original al hacer que los contraejemplos esencialmente algebraicos sean poco probables. Dvir ha escrito un artículo de encuesta sobre[actualizar]progreso en el problema de Kakeya de campo finito y su relación con los extractores de aleatoriedad . [25]
Ver también
- Conjunto Nikodym
Notas
- ↑ Pal, Julius (1920). "Problema de variaciones de Ueber ein elementares". Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd . 2 : 1–35.
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( ayuda ).
Referencias
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enlaces externos
- Kakeya en la Universidad de Columbia Británica
- Besicovitch en UCLA
- Problema de la aguja Kakeya en mathworld
- Prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya del campo finito en el blog de Terence Tao
- Introducción a los conjuntos Besicovitch-Kakeya