La teoría de conjuntos finitistas (FST) [1] es una teoría de colecciones diseñada para modelar estructuras anidadas finitas de individuos y una variedad de cadenas transitivas y antitransitivas de relaciones entre individuos. A diferencia de las teorías de conjuntos clásicas como ZFC y KPU , FST no pretende funcionar como una base para las matemáticas , sino solo como una herramienta en el modelado ontológico . FST funciona como la base lógica de la interpretación clásica de torta de capas, [2] y logra incorporar una gran parte de la funcionalidad de la mereología discreta .
Los modelos FST son de tipo , que se abrevia como . es la colección de ur-elementos del modelo. Los elementos Ur (urs) son primitivos indivisibles. Asignando un entero finito como 2 como valor de, se determina que contiene exactamente 2 urs. es una colección cuyos elementos se denominarán conjuntos. es un número entero finito que denota el rango máximo (nivel de anidamiento) de conjuntos en . Cada set entiene uno o más conjuntos o urs o ambos como miembros. El asignado y y los axiomas aplicados fijan el contenido de y . Para facilitar el uso del lenguaje, expresiones como "conjuntos que son elementos de de modelo y urs que son elementos de de modelo "se abrevian como" conjuntos y urs que son elementos de ".
El desarrollo formal de FST se ajusta a su función prevista como herramienta en el modelado ontológico. El objetivo de un ingeniero que aplica FST es seleccionar axiomas que produzcan un modelo que sea uno a uno correlacionado con un dominio objetivo que será modelado por FST, como una gama de compuestos químicos o construcciones sociales que se encuentran en la naturaleza. El dominio objetivo le da al ingeniero una intuición sobre el contenido del modelo FST que debería estar correlacionado uno a uno con él. FST proporciona un marco que facilita la selección de axiomas específicos que producen la correlación uno a uno. Los axiomas de extensionalidad y restricción se postulan en todas las versiones de FST, pero los axiomas de construcción de conjuntos (axiomas de anidamiento y axiomas de unión) varían; la asignación de valores enteros finitos a y está implícito en los axiomas de construcción de conjuntos seleccionados.
Por lo tanto, FST no es una teoría única, sino el nombre de una familia de teorías o versiones de FST, donde cada versión tiene sus propios axiomas de construcción de conjuntos y un modelo único. , que tiene una cardinalidad finita y todos sus conjuntos tienen un rango y cardinalidad finitos . Los axiomas FST están formulados por lógica de primer orden complementada por el miembro de relación. Todas las versiones de FST son teorías de primer orden. En los axiomas y definiciones, los símbolos son variables para conjuntos, son variables tanto para conjuntos como para urs, es una variable para urs, y denotar urs individuales de un modelo. Los símbolos de urs pueden aparecer solo en el lado izquierdo de. Los símbolos de los conjuntos pueden aparecer en ambos.
Un modelo FST aplicado es siempre el modelo mínimo que satisface los axiomas aplicados. Esto garantiza que existen en el modelo aplicado aquellos y sólo aquellos elementos que son explícitamente construidos por los axiomas seleccionados: sólo existen aquellos urs que se declara que existen asignando su número, y sólo existen aquellos conjuntos que son construidos por los axiomas seleccionados; no existen otros elementos además de estos. Esta interpretación es necesaria, para axiomas típicos de FST que generan, por ejemplo, exactamente un conjunto no excluya de otro modo conjuntos como
Los modelos FST completos contienen todas las permutaciones de conjuntos y urs dentro de los límites de y . Los axiomas de los modelos FST completos son extensionalidad, restricción, conjuntos singleton y unión de conjuntos. La extensionalidad y la restricción son axiomas de todas las versiones de FST, mientras que el axioma para conjuntos singleton es un axioma de anidación provisional (-axioma) y el axioma de unión de conjuntos es un axioma de unión provisional (-axioma).
- Hacha. Extensionalidad :. Colocar es idéntico al conjunto iff (si y solo si) y tienen los miembros idénticos, pueden ser conjuntos, urs o ambos.
- Hacha. Restricción :. Cada conjunto tiene un conjunto o una ur como miembro. El conjunto vacio no tiene miembros, y por lo tanto no existe tal cosa como en FST. Urs son los únicos-Elementos mínimos en FST. Cada conjunto FST contiene al menos un ur como-miembro mínimo en la parte inferior.
- Hacha. Conjuntos singleton :. Por cada ur y set que tiene un rango menor que , existe el conjunto singleton . La restricción de rango () en el axioma hace el trabajo del axioma de fundamento de las teorías de conjuntos tradicionales: restringir el rango de conjuntos a un finito asignado implica que no hay conjuntos que no estén bien fundamentados, ya que tales conjuntos tendrían un rango transfinito. Dado urs y en , el axioma de conjuntos singleton genera solo conjuntos y , mientras que el axioma del emparejamiento de teorías de conjuntos tradicionales genera , y .
- Hacha. Unión de Conjuntos :. Para todos los conjuntos y , existe un conjunto que contiene como miembros todos aquellos y solo aquellos conjuntos y urs que son miembros de , miembros de , o miembros de ambos y . Por ejemplo, si establece y existen, el axioma de unión de conjuntos establece que el conjunto existe. Si establece y existen, el axioma establece que existe. Si y existen, el axioma establece que existe. Este axioma es diferente del axioma de unión de las teorías de conjuntos tradicionales. [3]
Modelos FST completos contener todas las permutaciones de conjuntos y urs dentro de los límites del asignado y . La cardinalidad de es su número de conjuntos y urs . Considere algunos ejemplos.
- : Uno ur existe.
- : Dos urs existe.
- : Uno ur y el set existe.
- : Dos urs y conjuntos , , existe.
- : Uno ur y conjuntos , , existe.
La fórmula recursiva da el número de conjuntos en :
En existen conjuntos.
En existen conjuntos.
Las definiciones de FST deben entenderse como convenciones prácticas de nomenclatura que se utilizan para indicar que los elementos de un modelo de FST aplicado están o no interrelacionados de manera específica. Las definiciones no deben verse como axiomas: solo los axiomas implican la existencia de elementos de un modelo FST, no definiciones. Para evitar conflictos (especialmente con axiomas para modelos FST incompletos), las definiciones deben estar subyugadas a los axiomas aplicados con los dados. y . Para ilustrar un aparente conflicto, suponga que y son los únicos conjuntos del modelo aplicado. La definición de intersección establece que. Comono existe en el modelo aplicado, la definición de intersección puede parecer un axioma. Sin embargo, esto es solo aparente, por no tiene que existir para afirmar que el único elemento común de y es , que es la función de la definición de intersección. Lo mismo ocurre con todas las definiciones.
- Def. Rango. El rango de un conjunto es el análogo formal del nivel de un individuo. Que el rango de conjunto es , está escrito como , y abreviado como en algunos axiomas de anidación. Como convención, el rango de un elemento ur es 0. Como no hay un conjunto vacío en FST, el rango más pequeño posible de un conjunto FST es 1, mientras que en las teorías de conjuntos tradicionales el rango de \ {\} es 0. El rango de conjunto se define como el mayor nivel de anidación de todos -Elementos mínimos de . El rango de es 1, ya que el nivel de anidamiento de en es 1. El rango de es 2, como está anidado por dos conjuntos concéntricos. El rango de es 2, ya que 2 es el mayor nivel de anidamiento de todos -Elementos mínimos de . El rango de es 3, el rango de es 4, y así sucesivamente. Formalmente:
- es un elemento ur.
- , dónde , Se define como:
- , dónde , Se define como:
- Aplicando la definición de -El rango de miembro (abajo) se puede definir como:
- es un elemento ur.
- , Se define como
- Def. Subconjunto :, se denota como . es un subconjunto de si cada miembro de es miembro de . Ejemplos:; . Que no es un subconjunto de está escrito como . Ejemplos:; . Debido a la exclusión del conjunto vacío, en FST significa que todos los miembros de son miembros de , y existe al menos un miembro en y al menos un miembro en . En teorías de conjuntos tradicionales donde existe, significa que no tiene miembros que sean {\ no} miembros de . Por lo tanto, en las teorías de conjuntos tradicionales, sostiene para cada .
- Def. Subconjunto adecuado : se denota como . es un subconjunto adecuado de si es un subconjunto de y no es un subconjunto de . Ejemplos:; . Que no es un subconjunto adecuado de está escrito como . Ejemplos:; . En FST, significa que todos los miembros de son miembros de , existe al menos un miembro en , al menos dos miembros en , y al menos un miembro de no es miembro de . En las teorías de conjuntos tradicionales, significa que no tiene miembros que sean {\ no} miembros de , y tiene al menos un miembro que no es miembro de . Por lo tanto, en las teorías de conjuntos tradicionales, sostiene para cada dónde .
- Def. Desarticulación : se denota como . y son disjuntos si no tienen miembros en común. Ejemplos: (Cuándo ); .
- Def. Superposición : se denota como . y se superponen si tienen uno o más miembros en común. Ejemplos:; . La desarticulación es lo contrario de la superposición:; .
- Def. Intersección : se denota como . La intersección de y , , contiene esos y solo aquellos conjuntos y elementos ur que son miembros de ambos y . Ejemplos:; . Como el conjunto vacío no existe en FST, la intersección de dos conjuntos disjuntos no existe. Cuándo, no es cierto para ninguno . En este caso, la relación de desarticulación puede ser usado: . En las teorías tradicionales de conjuntos, la intersección de dos conjuntos disjuntos {\ es} el conjunto vacío:. Si se eliminara el axioma de restricción y se postulara la existencia del conjunto vacío, esto aún no implicaría que el conjunto vacío {\ es} la intersección de dos conjuntos disjuntos.
- Def. Unión : se denota como . Colocar contiene como miembros todos aquellos conjuntos y elementos ur que son miembros de , miembros de , o miembros de ambos y . Ejemplos:; ; .
- Teorema de la suplementación débil : [4] La suplementación débil (WS) expresa que un subconjunto adecuado de no es el todo , pero debe complementarse con otro subconjunto Para componer , dónde y son inconexos. En FST, cuando es un subconjunto adecuado de , luego tiene otro subconjunto que es inconexo con . Por ejemplo, es cierto en todos los modelos FST que contienen el conjunto .
- Def. Diferencia : se denota como La diferencia de y contiene todos los miembros de que no es miembro de . Ejemplos:; . Como el conjunto vacío no existe, no se puede afirmar que. Si es un subconjunto de , no existe tal que :
- Def. Cardinalidad. La cardinalidad denota el número de miembros de un conjunto. La cardinalidad se define solo para conjuntos: los elementos ur no tienen cardinalidad. La cardinalidad de es 1, sin tener en cuenta si es un conjunto o un elemento ur. La cardinalidad más baja posible de un conjunto FST es 1, mientras que en las teorías de conjuntos tradicionales la cardinalidad de es 0. significa que la cardinalidad del conjunto es . P.ej, , , y .
- Se define como:
- , dónde , Se define como:
- , dónde Se define como:
- Def. Conjunto de potencia : denotado como . Ejemplos:; . Los conjuntos de potencia en FST no contienen el conjunto vacío y, por lo tanto,. En FST, el conjunto de potencia no se requiere en la construcción de conjuntos, mientras que, por ejemplo, en la teoría de conjuntos ZF, el axioma de conjunto de potencia es esencial para construir la jerarquía de conjuntos transfinitos. En ZF, los conjuntos de potencia contienen el conjunto vacío, por ejemplo, como en, que hace .
- Def. n-Member y nivel de partición :
- Se define como .
- Se define como .
- , dónde , Se define como .
- Que se puede afirmar diciendo que existe en el primer nivel de partición de . Que se puede afirmar diciendo que existe en el segundo nivel de partición de . Etcétera. [5]
- Def. Miembros.
- , dónde , Se define como: .
- es un -a- miembro de Cuándo es un n-miembro de o un miembro n + 1 de o \ ldots o un -miembro de .
- Def. Conjunto de particiones. Un conjunto de particiones que contiene todos-los miembros de un conjunto se definen como:
- .
- Se define como: .
- Se define como: .
- Def. Cierre transitivo :, denotado como . significa que conjunto es el cierre transitivo de conjunto . contiene todos los conjuntos y elementos ur del conjunto de entrada , es decir, toda la estructura interna de . Ejemplos:
Como teorías transitivas, la mereología y el álgebra booleana son incapaces de modelar estructuras anidadas. Por lo tanto, es inteligible tomar FST u otra teoría intransitiva como primaria en el modelado de estructuras anidadas. Sin embargo, también la funcionalidad de las teorías transitivas encuentra aplicación en el modelado de estructuras anidadas. Una gran parte de la funcionalidad de la mereología discreta (DM) puede incorporarse en FST, en términos de relaciones que imitan las relaciones de DM.
DM opera con agregados sin estructura como que consta de urs , y que consta de urs . DM y otras relaciones definidas en términos de caracterizar las relaciones entre agregados como en y . Se dan una axiomatización de DM y algunas definiciones; algunas definiciones tienen el prefijo para distinguirlos de las definiciones de FST con los mismos nombres.
- hacha. extensionalidad .
- hacha. reflexividad
- hacha. transitividad:
- def. parte adecuada: denotado como .
- def. elemento-ur: denotado como .
- hacha. discreción:
- def. superposición m: denotado como .
- def. m-desunión: denotado como Ø .
- def. intersección m: denotado como .
- def. unión m: denotado como .
- def. diferencia m: denotado como .
Una gran parte de la funcionalidad de DM se puede incorporar en FST definiendo una relación análoga a la primitiva de DM en términos de membresía de FST. Aunque el símbolo idéntico ''se utiliza con DM y el objetivo es imitar la funcionalidad de DM, FST puede ser válido solo entre elementos de un modelo FST, es decir, no se agrega nada a los modelos FST aplicados. Como siempre, variables denotar conjuntos FST y denota un elemento ur.
La idea básica es que la membresía y las relaciones básicas de FST definidas en términos de membresía son estructurales, mientras que las de FST y relaciones definidas en términos de son independientes de la estructura o neutrales a la estructura . Que y son estructurales significa que son sensibles a estructuras anidadas de conjuntos: cuando se sabe que sostiene que se sabe que es miembro de y existe en el primer nivel de partición de , y cuando se sepa que sostiene que se sabe que todos los miembros de son miembros de y existe en el primer nivel de partición de . Por el contrario, cuando se sabe, por ejemplo, que tiene, no se sabe en qué nivel específico de lo hace existe. se caracteriza como estructura neutral porque permite existente en cualquier nivel de partición de . se aplica al hablar de conjuntos FST estructurales de una manera neutral en cuanto a estructura. Similarmente como con, los símbolos de urs pueden aparecer solo en el lado izquierdo de . Considere las definiciones:
- def. tu parte: denotado como .
- def. parte: , denotado como .
- def. parte adecuada: denotado como .
Cuándo sostiene, existe en algún nivel de conjunto . Por ejemplo,sostiene. Cuándo tiene, cada ur en cualquier nivel de existe en algún nivel de . Por ejemplo,sostiene. Respectivamente, significa que hay una ur en algún nivel de que no está en ningún nivel de . Por la definición de parte propia, p. Ej. y mantener. Dado cualquier tipo de jerarquía de miembros, como, además sostiene; dado cualquier tipo de jerarquía de subconjuntos como, además sostiene; dado cualquier tipo de jerarquía que sea una combinación de membresía y relaciones de subconjunto como, además sostiene. Tenga en cuenta que sostiene mientras que no se mantiene en todos los modelos FST, como en el caso en que y . Fine (2010, p. 579) señala que también cadenas de relaciones comopuede ser usado; a estas cadenas se les ha dado ahora una base axiomática.
Las siguientes traducciones de los axiomas de DM a la terminología de FST muestran que las FST es compatible con los axiomas de reflexividad, transitividad y discreción de DM, pero esa extensionalidad de DM debe modificarse cambiando una de sus relaciones de equivalencia en una implicación. Esto recuerda que los conjuntos FST son estructurales, mientras que los agregados DM no tienen estructura.
- Extensionalidad :. Este axioma no es válido, porque y pueden ser conjuntos no idénticos incluso si cada ur en cualquier nivel de se encuentra en algún nivel de y viceversa, como cuando y . Sin embargo, sostiene, por la identidad de y implica que cada ur que se encuentra en algún nivel de se encuentra en algún nivel de y viceversa.
- reflexividad : Cada ur que se encuentra en algún nivel de se encuentra en algún nivel de .
- transitividad : Si cada ur que se encuentra en algún nivel de se encuentra en algún nivel de y cada ur que se encuentra en algún nivel de se encuentra en algún nivel de , entonces cada ur que se encuentre en algún nivel de se encuentra en algún nivel de .
- discreción : Cada conjunto contiene al menos una ur en algún nivel.
Para ilustrar cómo las FST se puede aplicar como una relación de estructura neutral al hablar de conjuntos estructurales, considere las traducciones de los ejemplos (1-2) donde solo se aplica la mereología, en (1'-2 ') donde las FST se aplica junto con la membresía.
1. Una manija es parte de una puerta; una puerta es parte de una casa; pero la manija no es parte de la casa .:
1 '. Una manija es parte de una puerta y un miembro de una puerta: manijapuerta; resolverpuerta. La puerta es parte de una casa y un miembro de la casa: puertacasa; puertacasa. La manija es parte de la casa pero no un miembro de la casa: manijacasa; resolver casa.:
:
2. Un pelotón es parte de una empresa; una empresa es parte de un batallón; pero un pelotón no es parte de un batallón:
2 '. Un pelotón es parte de una empresa y miembro de una empresa; una compañía es parte de un batallón y miembro del batallón; un pelotón es parte de un batallón pero no miembro de un batallón:
Como se ha definido, todas las relaciones DM que se definen en términos de pueden considerarse como definiciones FST, incluyendo m-superposición, m-disjunción, m-intersección, m-unión y m-diferencia.
- Def. superposición m : denotado como . Al menos una ur en algún nivel de se encuentra en algún nivel de .
- Def. m-desunión : denotado como Ø . No estás en ningún nivel de se encuentra en cualquier nivel de .
- Def. intersección m : denotado como . es el conjunto de todas las urs que se encuentran en algunos niveles de ambos y .
- Def. unión m : denotado como . es el conjunto de todas las urs en cualquier nivel de o o ambos.
- Def. diferencia m : denotado como . es el conjunto de todas las urs que están en algún nivel de pero no en ningún nivel de .
Respecto a las definiciones de -intersección, -unión y -diferencia, en modelos FST completos todos los conjuntos existe. En algunos modelos FST incompletos, algunosno existe. Por ejemplo, cuando y son los únicos conjuntos en el modelo aplicado, la definición de -intersection establece que , lo que hace que la definición aparezca como un axioma. Como se indicó anteriormente , la definición no se interpreta como un axioma, sino solo como una fórmula que establece que se encuentra en algún nivel de ambos y .