En matemáticas , en particular en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica , las clases de Chern son clases características asociadas con paquetes de vectores complejos . Desde entonces, han encontrado aplicaciones en física , variedades de Calabi-Yau , teoría de cuerdas , teoría de Chern-Simons , teoría de nudos , invariantes de Gromov-Witten , teoría de campos cuánticos topológicos , teorema de Chern, etc.
Las clases de Chern fueron introducidas por Shiing-Shen Chern ( 1946 ).
Enfoque geométrico
Idea básica y motivación
Las clases de Chern son clases características . Son invariantes topológicos asociados con paquetes de vectores en una variedad suave. La pregunta de si dos paquetes de vectores aparentemente diferentes son iguales puede ser bastante difícil de responder. Las clases de Chern proporcionan una prueba simple: si las clases de Chern de un par de paquetes de vectores no concuerdan, entonces los paquetes de vectores son diferentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto.
En topología, geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es importante contar cuántas secciones linealmente independientes tiene un paquete de vectores. Las clases de Chern ofrecen información sobre esto mediante, por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch y el teorema del índice de Atiyah-Singer .
Las clases de Chern también son factibles de calcular en la práctica. En geometría diferencial (y algunos tipos de geometría algebraica), las clases de Chern se pueden expresar como polinomios en los coeficientes de la forma de curvatura .
Construcción
Hay varias formas de abordar el tema, cada una de las cuales se centra en un sabor ligeramente diferente de la clase Chern.
El enfoque original de las clases de Chern fue a través de la topología algebraica: las clases de Chern surgen a través de la teoría de la homotopía que proporciona un mapeo asociado con un paquete de vectores a un espacio de clasificación (un Grassmanniano infinito en este caso). Para cualquier paquete vectorial complejo V sobre una variedad M , existe un mapa f de M al espacio de clasificación tal que el paquete V es igual al retroceso, por f , de un paquete universal sobre el espacio de clasificación, y las clases de Chern de Por lo tanto, V se puede definir como el retroceso de las clases Chern del paquete universal. A su vez, estas clases de Chern universales se pueden escribir explícitamente en términos de ciclos de Schubert .
Se puede demostrar que para dos mapas cualesquiera f , g desde M hasta el espacio de clasificación cuyos retrocesos son el mismo paquete V , los mapas deben ser homotópicos. Por lo tanto, el retroceso de f o g de cualquier clase de Chern universal a una clase de cohomología de M debe ser la misma clase. Esto muestra que las clases Chern de V están bien definidas.
El enfoque de Chern utilizó geometría diferencial, a través del enfoque de curvatura descrito predominantemente en este artículo. Demostró que la definición anterior era de hecho equivalente a la suya. La teoría resultante se conoce como teoría de Chern-Weil .
También hay un enfoque de Alexander Grothendieck que muestra que axiomáticamente solo se necesita definir el caso del paquete de líneas.
Las clases de Chern surgen naturalmente en la geometría algebraica . Las clases de Chern generalizadas en geometría algebraica se pueden definir para haces de vectores (o más precisamente, gavillas libres localmente ) sobre cualquier variedad no singular. Las clases de Chern algebro-geométricas no requieren que el campo subyacente tenga propiedades especiales. En particular, los paquetes de vectores no tienen por qué ser necesariamente complejos.
Independientemente del paradigma particular, el significado intuitivo de la clase Chern se refiere a los "ceros requeridos" de una sección de un paquete de vectores: por ejemplo, el teorema que dice que no se puede peinar una bola peluda ( teorema de la bola peluda ). Aunque estrictamente hablando es una pregunta sobre un conjunto de vectores reales (los "pelos" de una bola son en realidad copias de la línea real), existen generalizaciones en las que los pelos son complejos (ver el ejemplo del teorema complejo de la bola peluda a continuación) , o para espacios proyectivos unidimensionales sobre muchos otros campos.
Consulte la teoría de Chern-Simons para obtener más información.
La clase Chern de paquetes de líneas
(Sea X un espacio topológico que tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ).
Un caso especial importante ocurre cuando V es un paquete de líneas . A continuación, la clase de Chern solamente no trivial es la primera clase de Chern, que es un elemento del segundo grupo de cohomología de X . Como es la clase Chern superior, es igual a la clase Euler del paquete.
La primera clase de Chern resulta ser un invariante completo con el que clasificar paquetes de líneas complejos, topológicamente hablando. Es decir, hay una biyección entre las clases de isomorfismos de haces de líneas sobre X y los elementos de, que asocia a un paquete de líneas su primera clase Chern. Además, esta biyección es un homomorfismo de grupo (por lo tanto, un isomorfismo):
el producto tensorial de los haces de líneas complejas corresponde a la adición en el segundo grupo de cohomología. [1] [2]
En geometría algebraica, esta clasificación de (clases de isomorfismo de) haces de líneas complejas por la primera clase Chern es una aproximación burda a la clasificación de (clases de isomorfismo de) haces de líneas holomórficas por clases de equivalencia lineal de divisores .
Para paquetes de vectores complejos de dimensión mayor que uno, las clases de Chern no son una invariante completa.
Construcciones
A través de la teoría de Chern-Weil
Dado un conjunto de vectores hermitianos complejos V de rango complejo n sobre una variedad suave M , un representante de cada clase Chern (también llamada forma Chern ) de V se dan como los coeficientes del polinomio característico de la forma de curvatura de V .
El determinante está sobre el anillo de matrices cuyas entradas son polinomios en t con coeficientes en el álgebra conmutativa incluso de formas diferenciales complejos sobre M . La forma de curvatura de V se define como
con ω la forma de conexión y d el derivado exterior , o a través de la misma expresión en la que ω es una forma de calibre para el grupo de calibre de V . El escalar t se usa aquí solo como un indeterminado para generar la suma del determinante, e I denota la matriz identidad n × n .
Decir que la expresión dada es un representante de la clase Chern indica que "clase" aquí significa hasta la adición de una forma diferencial exacta . Es decir, las clases de Chern son clases de cohomología en el sentido de la cohomología de De Rham . Se puede demostrar que las clases de cohomología de las formas de Chern no dependen de la elección de la conexión en V .
Usando la identidad de la matriz y la serie Maclaurin para, esta expresión para la forma Chern se expande como
A través de una clase de Euler
Se puede definir una clase Chern en términos de una clase Euler. Este es el enfoque del libro de Milnor y Stasheff, y enfatiza el papel de una orientación de un paquete de vectores .
La observación básica es que un paquete de vectores complejo viene con una orientación canónica, en última instancia porqueestá conectado. Por lo tanto, uno simplemente define la clase Chern superior del paquete como su clase Euler (la clase Euler del paquete vectorial real subyacente) y maneja las clases Chern inferiores de una manera inductiva.
La construcción precisa es la siguiente. La idea es hacer un cambio de base para obtener un paquete de rango menos. Dejarser un paquete del vector complejo sobre un espacio paracompacto B . Pensando en B como incrustado en E como la sección cero, supongamos y defina el nuevo paquete de vectores:
tal que cada fibra es el cociente de una fibra F de E por la línea que abarca un vector v distinto de cero en F (un punto de B ′ está especificado por una fibra F de E y un vector distinto de cero en F ). [3] Entoncestiene un rango inferior a la de E . De la secuencia de Gysin para el haz de fibras:
vemos eso es un isomorfismo para . Dejar
Luego se necesita algo de trabajo para verificar que los axiomas de las clases de Chern se satisfagan para esta definición.
Ver también: El isomorfismo de Thom .
Ejemplos de
El complejo haz tangente de la esfera de Riemann
Dejar sea la esfera de Riemann : espacio proyectivo complejo unidimensional . Suponga que z es una coordenada local holomórfica para la esfera de Riemann. Dejar ser el conjunto de vectores tangentes complejos que tienen la forma en cada punto, donde a es un número complejo. Demostramos la versión compleja del teorema de la bola peluda : V no tiene una sección que sea distinta de cero en todas partes.
Para esto, necesitamos el siguiente hecho: la primera clase Chern de un paquete trivial es cero, es decir,
Esto se evidencia por el hecho de que un paquete trivial siempre admite una conexión plana. Entonces, mostraremos que
Considere la métrica de Kähler
Uno muestra fácilmente que la forma de curvatura 2 está dada por
Además, según la definición de la primera clase Chern
Debemos demostrar que esta clase de cohomología no es cero. Basta calcular su integral sobre la esfera de Riemann:
después de cambiar a coordenadas polares . Según el teorema de Stokes , una forma exacta se integraría a 0, por lo que la clase de cohomología es distinta de cero.
Esto prueba que no es un paquete de vectores trivial.
Espacio proyectivo complejo
Hay una secuencia exacta de haces / haces: [4]
dónde es la estructura de la gavilla (es decir, el paquete de línea trivial), es el haz de torsión de Serre (es decir, el haz hiperplano ) y el último término distinto de cero es el haz / haz tangente .
Hay dos formas de obtener la secuencia anterior:
- [5] Deja ser las coordenadas de dejar ser la proyección canónica, y dejar . Entonces nosotros tenemos:
En otras palabras, la gavilla cotangente , que es gratis -módulo con base , encaja en la secuencia exacta
- Sea L una línea enque pasa por el origen. Es una geometría elemental ver que el complejo espacio tangente aen el punto L se encuentra naturalmente el conjunto de mapas lineales desde L hasta su complemento. Por lo tanto, el paquete tangentese puede identificar con el paquete hom
- .
Por la aditividad de la clase Chern total (es decir, la fórmula de la suma de Whitney),
- ,
donde a es el generador canónico del grupo de cohomología; es decir, el negativo de la primera clase Chern del haz de líneas tautológicas (Nota: Cuándo es el dual de E. ) En particular, para cualquier,
Polinomio de Chern
Un polinomio de Chern es una forma conveniente de manejar las clases de Chern y las nociones relacionadas de forma sistemática. Por definición, para un paquete vectorial complejo E , el polinomio de Chern c t de E viene dado por:
Esta no es una nueva invariante: la variable formal t simplemente realiza un seguimiento del grado de c k ( E ). [6] En particular,está completamente determinado por la clase Chern total de E : y por el contrario.
La fórmula de la suma de Whitney, uno de los axiomas de las clases de Chern (ver más abajo), dice que c t es aditivo en el sentido:
Ahora si es una suma directa de paquetes de líneas (complejos), de la fórmula de suma se deduce que:
dónde son las primeras clases de Chern. Las raices, llamadas raíces de Chern de E , determinan los coeficientes del polinomio: es decir,
donde σ k son polinomios simétricos elementales . En otras palabras, pensando en i como variables formales, c k "son" σ k . Un hecho básico sobre polinomios simétricos es que cualquier polinomio simétrico en, digamos, t i es un polinomio en polinomios simétricos elementales en t i . Ya sea por principio de división o por teoría de anillos, cualquier polinomio de Chernfactoriza en factores lineales después de agrandar el anillo de cohomología; No es necesario que E sea una suma directa de paquetes de líneas en la discusión anterior. La conclusión es
- "Se puede evaluar cualquier polinomio simétrico f en un conjunto de vectores complejos E escribiendo f como un polinomio en σ k y luego reemplazando σ k por c k ( E )".
Ejemplo : tenemos polinomios s k
con y así sucesivamente (cf. Identidades de Newton ). La suma
se llama el carácter Chern de E , cuyos primeros términos son: (eliminamos E de la escritura).
Ejemplo : la clase de Todd de E viene dada por:
Observación : La observación de que una clase de Chern es esencialmente un polinomio simétrico elemental se puede utilizar para "definir" las clases de Chern. Sea G n el Grassmanniano infinito de espacios vectoriales complejos n -dimensionales. Es un espacio de clasificación en el sentido de que, dado un paquete vectorial complejo E de rango n sobre X , hay un mapa continuo
único hasta la homotopía. El teorema de Borel dice que el anillo de cohomología de G n es exactamente el anillo de polinomios simétricos, que son polinomios en polinomios simétricos elementales σ k ; entonces, el retroceso de f E dice:
Uno luego pone:
Observación : Cualquier clase de característica es un polinomio en las clases de Chern, por la siguiente razón. Dejarser el funtor contravariante que, a un complejo CW X , asigna el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores complejos de rango n sobre X y, a un mapa, su retroceso. Por definición, una clase característica es una transformación natural de al functor de cohomología Las clases de características forman un anillo debido a la estructura del anillo del anillo de cohomología. El lema de Yoneda dice que este anillo de clases características es exactamente el anillo de cohomología de G n :
Fórmulas de cálculo
Deje que E sea un paquete del vector de rango r yel polinomio #Chern de la misma.
- Para el paquete dual de , . [7]
- Si L es un paquete de líneas, entonces [8] [9]
- y entonces están
- Por las raíces de Chern de , [10]
- En particular,
- Por ejemplo, [11] para,
- Cuándo ,
- Cuándo ,
- (cf. Clase de Segre # Ejemplo 2 ).
Aplicaciones de fórmulas
Podemos usar estas propiedades abstractas para calcular el resto de las clases chern de paquetes de líneas en . Recordar que demostración . Luego, usando los poderes tensoriales, podemos relacionarlos con las clases chern de para cualquier número entero.
Propiedades
Dado un vector complejo haz de E sobre un espacio topológico X , las clases de Chern de E son una secuencia de elementos de la cohomología de X . La k -ésima clase Chern de E , que generalmente se denota c k ( E ), es un elemento de
la cohomología de X con coeficientes enteros . También se puede definir la clase Chern total
Dado que los valores están en grupos de cohomología integral, en lugar de cohomología con coeficientes reales, estas clases de Chern son un poco más refinadas que las del ejemplo de Riemann. [ aclaración necesaria ]
Definición axiomática clásica
Las clases de Chern satisfacen los siguientes cuatro axiomas:
Axioma 1. para todos E .
Axioma 2. Naturalidad: sies continua y f * E es el retroceso del paquete vectorial de E , entonces.
Axioma 3. Fórmula de la suma de Whitney : Sies otro paquete de vectores complejo, entonces las clases de Chern de la suma directa son dadas por
es decir,
Axioma 4. Normalización: La clase Chern total del paquete de líneas tautológicas sobrees 1− H , donde H es Poincaré-dual al hiperplano .
Enfoque axiomático de Grothendieck
Alternativamente, Alexander Grothendieck ( 1958 ) los reemplazó con un conjunto de axiomas un poco más pequeño:
- Naturalidad: (Igual que arriba)
- Aditividad: si es una secuencia exacta de paquetes de vectores, entonces.
- Normalización: si E es un paquete de líneas , entonces dónde es la clase de Euler del paquete de vectores reales subyacente.
Demuestra usando el teorema de Leray-Hirsch que la clase de Chern total de un conjunto de vectores complejos de rango finito arbitrario se puede definir en términos de la primera clase de Chern de un conjunto de líneas definido tautológicamente.
Es decir, introduciendo la proyectivización del paquete vectorial complejo de rango n E → B como el paquete de fibras en B cuya fibra en cualquier puntoes el espacio proyectivo de la fibra E b . El espacio total de este paquete está equipado con su paquete de líneas complejas tautológicas, que denotamos , y la primera clase Chern
restringe en cada fibra menos la clase (Poincaré-dual) del hiperplano, que atraviesa la cohomología de la fibra, en vista de la cohomología de espacios proyectivos complejos .
Las clases
por lo tanto, forman una familia de clases de cohomología ambiental que se restringen a una base de cohomología de la fibra. El teorema de Leray-Hirsch establece que cualquier clase ense puede escribir de forma única como una combinación lineal de 1, a , a 2 , ..., a n −1 con clases en la base como coeficientes.
En particular, se pueden definir las clases Chern de E en el sentido de Grothendieck, denotado expandiendo de esta manera la clase , con la relación:
Entonces se puede comprobar que esta definición alternativa coincide con cualquier otra definición que se pueda favorecer, o utilizar la caracterización axiomática anterior.
La clase superior de Chern
De hecho, estas propiedades caracterizan de forma única a las clases Chern. Implican, entre otras cosas:
- Si n es el rango complejo de V , entoncespara todo k > n . Así termina la clase Chern total.
- La clase Chern superior de V (que significa, donde n es el rango de V ) es siempre igual a la clase de Euler del paquete de vectores reales subyacente.
En geometría algebraica
Descripción axiomática
Hay otra construcción de clases de Chern que toman valores en el análogo algebrogeométrico del anillo de cohomología, el anillo de Chow . Se puede demostrar que existe una teoría única de las clases de Chern, tal que si se le da un paquete de vectores algebraicos sobre una variedad cuasi-proyectiva hay una secuencia de clases tal que
- Para una gavilla invertible (así que eso es un divisor de Cartier ),
- Dada una secuencia exacta de paquetes de vectores la fórmula de la suma de Whitney se cumple:
- por
- El mapa se extiende a un morfismo de anillo
Secuencia normal
Calcular las clases de características para el espacio proyectivo forma la base para muchos cálculos de clases de características, ya que para cualquier subvariedad proyectiva suave hay una breve secuencia exacta
Quintic triple
Por ejemplo, considere la quintica no singular triple en. Entonces el paquete normal viene dado por y tenemos la secuencia exacta corta
Dejar denotar la clase de hiperplano en . Entonces la fórmula de la suma de Whitney nos da que
Dado que el anillo de Chow de una hipersuperficie es difícil de calcular, consideraremos esta secuencia como una secuencia de haces coherentes en . Esto nos da que
Usando el teorema de Gauss-Bonnet podemos integrar la clase para calcular la característica de Euler. Tradicionalmente, esto se llama clase Euler . Esto es
desde la clase de puede ser representado por cinco puntos (por el teorema de Bézout ). La característica de Euler se puede utilizar para calcular los números de Betti para la cohomología de usando la definición de la característica de Euler y usando el teorema del hiperplano de Lefschetz.
Hiperuperficies grado d
Si es un grado hipersuperficie suave, tenemos la secuencia exacta corta
dando la relación
entonces podemos calcular esto como
Dando la clase chern total. En particular, podemos encontrar es un colector de 4 espines si es uniforme, por lo que cada hipersuperficie suave de grado es un colector de centrifugado .
Nociones próximas
El personaje de Chern
Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un paquete de líneas L , el carácter de Chern ch se define por
De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas, con las primeras clases de Chern el carácter Chern se define aditivamente
Esto se puede reescribir como: [12]
Esta última expresión, justificada invocando el principio de división , se toma como la definición CH (V) para el vector arbitrario paquetes V .
Si se usa una conexión para definir las clases de Chern cuando la base es una variedad (es decir, la teoría de Chern-Weil ), entonces la forma explícita del carácter de Chern es
donde Ω es la curvatura de la conexión.
El carácter Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase Chern de un producto tensorial. En concreto, obedece a las siguientes identidades:
Como se ha indicado anteriormente, utilizando el axioma aditividad Grothendieck para las clases de Chern, la primera de estas identidades pueden ser generalizados a estado que ch es un homomorfismo de grupos abelianos de la K-teoría K ( X ) en el cohomology racional de X . La segunda identidad establece el hecho de que este homomorfismo también respeta productos en K ( X ), por lo que ch es un homomorfismo de anillos.
El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .
Números de Chern
Si trabajamos en una variedad orientada de dimensión, entonces cualquier producto de las clases de Chern de grado total (es decir, la suma de los índices de las clases Chern en el producto debe ser ) se puede emparejar con la clase de homología de orientación (o "integrado sobre la variedad") para dar un número entero, un número Chern del paquete de vectores. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 6, hay tres números de Chern linealmente independientes, dados por , y . En general, si el colector tiene dimensión, el número de posibles números de Chern independientes es el número de particiones de.
Los números de Chern del haz tangente de una variedad compleja (o casi compleja) se denominan números de Chern de la variedad y son invariantes importantes.
Teorías de cohomología generalizada
Hay una generalización de la teoría de las clases de Chern, donde la cohomología ordinaria se reemplaza por una teoría de la cohomología generalizada . Las teorías para las que es posible tal generalización se denominan orientables complejas . Las propiedades formales de las clases Chern siguen siendo las mismas, con una diferencia crucial: la regla que calcula la primera clase Chern de un producto tensorial de haces de líneas en términos de las primeras clases Chern de los factores no es una adición (ordinaria), sino más bien una derecho de grupo formal .
Geometría algebraica
En geometría algebraica existe una teoría similar de las clases Chern de paquetes vectoriales. Hay varias variaciones según los grupos en los que se encuentran las clases de Chern:
- Para variedades complejas, las clases de Chern pueden tomar valores en cohomología ordinaria, como se indicó anteriormente.
- Para variedades sobre campos generales, las clases de Chern pueden tomar valores en teorías de cohomología como la cohomología etale o la cohomología l-ádica .
- Para las variedades V sobre campos generales, las clases Chern también pueden tomar valores en homomorfismos de grupos Chow CH (V): por ejemplo, la primera clase Chern de un paquete de líneas sobre una variedad V es un homomorfismo de CH ( V ) a CH ( V ) reduciendo los grados en 1. Esto corresponde al hecho de que los grupos de Chow son una especie de análogo de los grupos de homología, y los elementos de los grupos de cohomología pueden considerarse como homomorfismos de los grupos de homología que utilizan el producto cap .
Colectores con estructura
La teoría de las clases de Chern da lugar a invariantes de cobordismo para variedades casi complejas .
Si M es una variedad casi compleja, entonces su paquete tangente es un paquete vectorial complejo. Por tanto, las clases Chern de M se definen como las clases Chern de su haz tangente. Si M también es compacto y de dimensión 2 d , entonces cada monomio del total grado 2 d en las clases de Chern se puede combinar con la clase fundamental de M , dando un entero, un número Chern de M . Si M 'es otra variedad casi compleja de la misma dimensión, entonces es cobordant a M , si y sólo si los números de Chern de M ' coinciden con los de M .
La teoría también se extiende a los paquetes de vectores simplécticos reales , mediante la intermediación de estructuras casi complejas compatibles. En particular, las variedades simplécticas tienen una clase Chern bien definida.
Esquemas aritméticos y ecuaciones diofánticas
(Ver geometría de Arakelov )
Ver también
- Clase Pontryagin
- Clase Stiefel-Whitney
- Clase Euler
- Clase segre
- Cálculo de Schubert
- Efecto Hall cuántico
- Clase Chern localizada
Notas
- ^ Bott, Raoul ; Tu, Loring (1995). Formas diferenciales en topología algebraica (Corr. 3. ed. Impresa). Nueva York [ua]: Springer. pag. 267ff. ISBN 3-540-90613-4.
- ^ Hatcher, Allen . "Paquetes de vectores y teoría K" (PDF) . Proposición 3.10.
- ↑ Nota editorial: Nuestra notación difiere de la de Milnor-Stasheff, pero parece más natural.
- ↑ La secuencia a veces se denomina secuencia de Euler .
- ^ Harsthorne , cap. II. Teorema 8.13.
- ^ En un término de teoría de anillos, hay un isomorfismo de anillos graduados:
- ^ Fulton , observación 3.2.3. (a)
- ^ Fulton , observación 3.2.3. (B)
- ^ Fulton , ejemplo 3.2.2.
- ^ Fulton , observación 3.2.3. (C)
- ^ Use, por ejemplo, WolframAlpha para expandir el polinomio y luego use el hecho son polinomios simétricos elementales en 's.
- ^ (Ver también # polinomio Chern .) Observe que cuando V es una suma de haces de líneas, las clases Chern de V pueden expresarse como polinomios simétricos elementales en el, En particular, por un lado
Referencias
- Chern, Shiing-Shen (1946), "Clases características de las variedades hermitianas", Annals of Mathematics , Segunda serie, The Annals of Mathematics, vol. 47, núm. 1, 47 (1): 85–121, doi : 10.2307 / 1969037 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969037
- Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie des classes de Chern" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137-154, doi : 10.24033 / bsmf.1501 , ISSN 0037-9484 , MR 0116023
- Jost, Jürgen (2005), Geometría y análisis geométrico de Riemann (4a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7 (Proporciona una breve revisión introductoria de las clases de Chern).
- Mayo, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica , University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
- Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), clases de características , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9
- Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3
enlaces externos
- Vector Bundles & K-Theory : un libro en progreso descargable de Allen Hatcher . Contiene un capítulo sobre clases de características.
- Dieter Kotschick , Chern números de variedades algebraicas