En matemáticas , específicamente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , la longitud de ajuste (o longitud nilpotente ) mide qué tan lejos está un grupo resoluble de ser nilpotente . El concepto lleva el nombre de Hans Fitting , debido a sus investigaciones de subgrupos normales nilpotentes .
Definición
Una cadena de montaje (o serie de montaje oserie nilpotente ) para ungrupoes unaserie subnormalconcocientesnilpotentes . En otras palabras, una secuencia finita desubgrupos queincluye tanto el grupo completo como el grupo trivial, de manera que cada uno es unsubgrupo normaldel anterior, y tal que los cocientes de términos sucesivos son grupos nilpotentes.
La longitud de ajuste o longitud nilpotente de un grupo se define como la longitud más pequeña posible de una cadena de ajuste, si existe.
Serie de racores superior e inferior
Así como la serie central superior y la serie central inferior son extremas entre las series centrales , existen series extremas análogas entre las series nilpotentes.
Para un grupo finito H , el subgrupo de ajuste Fit ( H ) es el subgrupo nilpotente normal máximo, mientras que el subgrupo normal mínimo tal que el cociente por él es nilpotente es γ ∞ ( H ), la intersección de la serie central inferior (finita) , que se denomina residual nilpotente . Corresponden al subgrupo central y al conmutador (para las series centrales superior e inferior, respectivamente). Estos no son válidos para grupos infinitos, por lo que para la secuela, suponga que todos los grupos son finitos.
La serie de ajuste superior de un grupo finito es la secuencia de subgrupos característicos Ajuste n ( G ) definido por Ajuste 0 ( G ) = 1, y Ajuste n +1 ( G ) / Ajuste n ( G ) = Ajuste (G / Ajuste n ( G )). Es una serie nilpotente ascendente, tomando en cada paso el subgrupo máximo posible.
La serie de ajuste inferior de un grupo finito G es la secuencia de subgrupos característicos F n ( G ) definidos por F 0 ( G ) = G , y F n +1 ( G ) = γ ∞ ( F n ( G )). Es una serie descendente nilpotente, tomando en cada paso el mínimo subgrupo posible.
Ejemplos de
- Un grupo no trivial tiene una longitud de ajuste 1 si y solo si es nilpotente.
- El grupo simétrico de tres puntos tiene una longitud de ajuste 2.
- El grupo simétrico de cuatro puntos tiene una longitud de ajuste 3.
- El grupo simétrico en cinco o más puntos no tiene ninguna cadena de ajuste, no se puede resolver.
- El producto de corona iterado de n copias del grupo simétrico en tres puntos tiene una longitud de ajuste 2 n .
Propiedades
- Un grupo tiene una cadena de ajuste si y solo si tiene solución .
- La serie de accesorios inferior es una cadena de accesorios si y solo si finalmente alcanza el subgrupo trivial, si y solo si G tiene solución.
- La serie de accesorios superior es una cadena de accesorios si y solo si finalmente llega a todo el grupo, G , si y solo si G tiene solución.
- La serie de accesorios inferior desciende más rápidamente entre todas las cadenas de accesorios, y la serie de accesorios superior asciende más rápidamente entre todas las cadenas de accesorios. Explícitamente: Para cada cadena de ajuste, 1 = H 0 ⊲ H 1 ⊲… ⊲ H n = G , se tiene que H i ≤ Fit i ( G ) y F i ( G ) ≤ H n - i .
- Para un grupo solucionable, la longitud de la serie de accesorios inferior es igual a la longitud de la serie de accesorios superior, y esta longitud común es la longitud de ajuste del grupo.
Se puede encontrar más información en ( Huppert 1967 , Kap. III, §4).
Conexión entre la serie central y la serie Fitting
Lo que hacen las series centrales para los grupos nilpotentes, las series Fitting lo hacen para los grupos con solución. Un grupo tiene una serie central si y solo si es nilpotente, y una serie de ajuste si y solo si tiene solución.
Dado un grupo solucionable, la serie de ajuste inferior es una división "más gruesa" que la serie central inferior: la serie de ajuste inferior da una serie para todo el grupo, mientras que la serie central inferior desciende solo del grupo completo al primer término del grupo. Serie de montaje.
La serie de accesorios inferior procede:
- G = F 0 ⊵ F 1 ⊵ ⋯ ⊵ 1,
mientras que la serie central inferior subdivide el primer paso,
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 ,
y es una elevación de la serie central inferior para el primer cociente F 0 / F 1 , que es nilpotente.
Proceder de esta manera (levantando la serie central inferior para cada cociente de la serie Fitting) produce una serie subnormal:
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 = F 1,1 ⊵ F 1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F 2 = F 2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F n = 1,
como las divisiones burdas y finas de una regla .
Los cocientes sucesivos son abelianos, mostrando la equivalencia entre ser resoluble y tener una serie de ajuste.
Ver también
Referencias
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Fitting length" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Fitting chain" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press