En matemáticas , especialmente en el área de álgebra conocida como teoría de grupos , el montaje subgrupo F de un grupo finito G , el nombre de Hans Fitting , es el único más grande normal de nilpotent subgrupo de G . Intuitivamente, representa el subgrupo más pequeño que "controla" la estructura de G cuando G se puede resolver . Cuando G no se puede resolver, el subgrupo de ajuste generalizado F * juega un papel similar, Que se genera por el subgrupo de montaje y los componentes de G .
Para un arbitrario (no necesariamente finita) grupo G , el subgrupo de montaje se define para ser el subgrupo generado por los subgrupos normales nilpotentes de G . Para grupos infinitos, el subgrupo Adecuado no siempre es nilpotente.
El resto de este artículo trata exclusivamente de grupos finitos .
El subgrupo de adaptación
La nilpotencia del subgrupo Fitting de un grupo finito está garantizada por el teorema de Fitting, que dice que el producto de una colección finita de subgrupos nilpotentes normales de G es de nuevo un subgrupo nilpotente normal. También se puede construir de forma explícita como el producto de los p-núcleos de G sobre todos los números primos p dividiendo el orden de G .
Si G es un grupo resoluble no trivial finito, entonces el subgrupo Adecuado es siempre no trivial, es decir, si G ≠ 1 es resoluble finito, entonces F ( G ) ≠ 1. De manera similar, el subgrupo de ajuste de G / F ( G ) no será trivial si G no es en sí mismo nilpotente, dando lugar al concepto de longitud de ajuste . Dado que el subgrupo de adaptación de un grupo resoluble finito contiene su propio centralizador , esto proporciona un método para comprender los grupos resolubles finitos como extensiones de grupos nilpotentes por grupos automorfistas fieles de grupos nilpotentes.
En un grupo nilpotente, cada factor principal está centralizado por cada elemento. Relajando un poco la condición y tomando el subgrupo de elementos de un grupo finito general que centraliza cada factor principal, simplemente se obtiene el subgrupo de Ajuste nuevamente ( Huppert 1967 , Kap.VI, Satz 5.4, p.686):
La generalización a grupos p -nilpotentes es similar.
El subgrupo de adaptación generalizada
Un componente de un grupo es un subgrupo cuasimple subnormal . (Un grupo es casi simple si es una extensión central perfecta de un grupo simple). La capa E ( G ) o L ( G ) de un grupo es el subgrupo generado por todos los componentes. Dos componentes cualesquiera de un grupo se desplazan al trabajo, por lo que la capa es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples y es el subgrupo normal más grande de G con esta estructura. El subgrupo de ajuste generalizado F * ( G ) es el subgrupo generado por la capa y el subgrupo de ajuste. La capa conmuta con el subgrupo de adaptación, por lo que el subgrupo de adaptación generalizado es una extensión central de un producto de p -grupos y grupos simples .
La capa es también el subgrupo semisimple normal máximo, donde un grupo se denomina semisimple si es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples.
Esta definición del subgrupo de ajuste generalizado puede estar motivada por algunos de sus usos previstos. Considere el problema de tratar de identificar un subgrupo normal H de G que contenga su propio centralizador y el grupo Adaptador. Si C es el centralizador de H queremos demostrar que C está contenido en H . Si no, escoger un mínimo subgrupo característico M / Z (H) de C / Z (H) , en donde Z (H) es el centro de H , que es la misma que la intersección de C y H . Entonces M / Z ( H ) es un producto de grupos simples o cíclicos, ya que es característicamente simple. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos cíclicos, entonces M debe estar en el subgrupo Adecuado. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos simples no abelianos, entonces el subgrupo derivado de M es un subgrupo semisimple normal mapeado en M / Z ( H ). Entonces, si H contiene el subgrupo Adecuado y todos los subgrupos semisimple normales, entonces M / Z ( H ) debe ser trivial, por lo que H contiene su propio centralizador. El subgrupo de ajuste generalizado es el subgrupo más pequeño que contiene el subgrupo de ajuste y todos los subgrupos semisimple normales.
El subgrupo de ajuste generalizado también puede verse como un centralizador generalizado de factores principales. Un grupo semisimple no beliano no puede centralizarse a sí mismo, pero actúa como automorfismos internos. Se dice que un grupo es cuasi-nilpotente si cada elemento actúa como un automorfismo interno en cada factor principal. El subgrupo de ajuste generalizado es el subgrupo cuasi-nilpotente subnormal más grande y único, y es igual al conjunto de todos los elementos que actúan como automorfismos internos en cada factor principal de todo el grupo ( Huppert y Blackburn 1982 , Capítulo X, Teorema 5.4, p. 126):
Aquí un elemento g es en H C G ( H / K ) si, y sólo si hay algún h en H tal que para cada x en H , x g ≡ x h mod K .
Propiedades
Si G es un grupo resoluble finito, entonces el subgrupo de Adaptación contiene su propio centralizador. El centralizador del subgrupo Fitting es el centro del subgrupo Fitting. En este caso, el subgrupo de Adaptación generalizado es igual al subgrupo de Adaptación. De manera más general, si G es un grupo finito, entonces el subgrupo de ajuste generalizado contiene su propio centralizador. Esto significa que, en cierto sentido, el subgrupo de ajuste generalizado controla G , porque G módulo, el centralizador de F * ( G ) está contenido en el grupo de automorfismo de F * ( G ), y el centralizador de F * ( G ) está contenido en F * ( G ). En particular, hay solo un número finito de grupos con un subgrupo de ajuste generalizado dado.
Aplicaciones
Los normalizadores de p- subgrupos no triviales de un grupo finito se denominan p- subgrupos locales y ejercen un gran control sobre la estructura del grupo (permitiendo lo que se llama análisis local ). Se dice que un grupo finito es de tipo p característico si F * ( G ) es un grupo p para cada subgrupo local p , porque cualquier grupo de tipo Lie definido sobre un campo de característica p tiene esta propiedad. En la clasificación de grupos simples finitos , esto permite adivinar sobre qué campo debe definirse un grupo simple. Tenga en cuenta que algunos grupos son de tipo p característico para más de un p .
Si un grupo simple no es del tipo Lie sobre un campo de la característica p dada , entonces los subgrupos locales p generalmente tienen componentes en el subgrupo de Ajuste generalizado, aunque hay muchas excepciones para los grupos que tienen un rango pequeño, se definen en campos pequeños, o son esporádicos. Esto se utiliza para clasificar los grupos simples finitos, porque si un subgrupo p -local tiene un componente conocido, a menudo es posible identificar el grupo completo ( Aschbacher y Seitz 1976 ).
El análisis de grupos simples finitos por medio de la estructura e incrustación de los subgrupos de ajuste generalizados de sus subgrupos máximos fue originado por Helmut Bender ( Bender 1970 ) y ha llegado a conocerse como el método de Bender . Es especialmente eficaz en los casos excepcionales en los que los componentes o los functores del señalizador no son aplicables.
Referencias
- Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
- Aschbacher, Michael ; Seitz, Gary M. (1976), "Sobre grupos con un componente estándar de tipo conocido", Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482
- Bender, Helmut (1970), "On groups with abelian Sylow 2-subgroups", Mathematische Zeitschrift , 117 : 164-176, doi : 10.1007 / BF01109839 , ISSN 0025-5874 , MR 0288180
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050
- Huppert, Bertram ; Blackburn, Norman (1982), Grupos finitos. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 243 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, MR 0650245