En matemáticas , un punto fijo (a veces acortado a punto fijo , también conocido como un punto invariante ) de una función es un elemento de de la función de dominio que se asigna a sí mismo por la función. Es decir, c es un punto fijo de la función f si f ( c ) = c . Esto significa que f ( f (... f ( c ) ...)) = f n ( c ) = c , una consideración final importante cuando se calcula recursivamente f . Un conjunto de puntos fijos a veces se denomina conjunto fijo .
Por ejemplo, si f se define en los números reales por
entonces 2 es un punto fijo de f , porque f (2) = 2.
No todas las funciones tienen puntos fijos: por ejemplo, f ( x ) = x + 1, no tiene puntos fijos, ya que x nunca es igual ax + 1 para ningún número real. En términos gráficos, un punto fijo x significa que el punto ( x , f ( x )) está en la línea y = x , o en otras palabras, la gráfica de f tiene un punto en común con esa línea.
Los puntos que vuelven al mismo valor después de un número finito de iteraciones de la función se denominan puntos periódicos . Un punto fijo es un punto periódico con un período igual a uno. En geometría proyectiva , un punto fijo de una proyectividad se ha denominado punto doble . [1] [2]
En la teoría de Galois , el conjunto de puntos fijos de un conjunto de automorfismos de campo es un campo llamado campo fijo del conjunto de automorfismos.
Atrayendo puntos fijos
Un punto fijo de atracción de una función f es un punto fijo x 0 de f tal que para cualquier valor de x en el dominio que esté lo suficientemente cerca de x 0 , la secuencia de función iterada
converge a x 0 . El teorema del punto fijo de Banach proporciona una expresión de los requisitos previos y una prueba de la existencia de tal solución .
La función coseno natural ("natural" significa en radianes , no grados u otras unidades) tiene exactamente un punto fijo, que es atrayente. En este caso, "lo suficientemente cerca" no es un criterio estricto en absoluto; para demostrar esto, comience con cualquier número real y presione repetidamente la tecla cos en una calculadora (verificando primero que la calculadora esté en modo "radianes"). Eventualmente converge a aproximadamente 0,739085133, que es un punto fijo. Ahí es donde la gráfica de la función coseno se cruza con la línea.. [3]
No todos los puntos fijos atraen. Por ejemplo, x = 0 es un punto fijo de la función f ( x ) = 2 x , pero la iteración de esta función para cualquier valor distinto de cero diverge rápidamente. Sin embargo, si la función f es continuamente diferenciable en una vecindad abierta de un punto fijo x 0 , y, la atracción está garantizada.
La atracción de puntos fijos es un caso especial de un concepto matemático más amplio de atractores .
Se dice que un punto fijo de atracción es un punto fijo estable si también es estable de Lyapunov .
Se dice que un punto fijo es un punto fijo neutralmente estable si es Lyapunov estable pero no atrayente. El centro de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es un ejemplo de un punto fijo neutralmente estable.
Se pueden recopilar múltiples puntos de atracción en un conjunto fijo de atracción .
Aplicaciones
En muchos campos, el equilibrio o la estabilidad son conceptos fundamentales que pueden describirse en términos de puntos fijos. A continuación se presentan algunos ejemplos.
- En economía , el equilibrio de Nash de un juego es un punto fijo de la correspondencia de mejor respuesta del juego . John Nash aprovechó el teorema del punto fijo de Kakutani para su artículo fundamental que le valió el premio Nobel de economía.
- En física , más precisamente en la teoría de las transiciones de fase , la linealización cerca de un punto fijo inestable ha llevado al trabajo ganador del premio Nobel de Wilson al inventar el grupo de renormalización ya la explicación matemática del término " fenómeno crítico ". [4] [5]
- Los compiladores de lenguajes de programación utilizan cálculos de punto fijo para el análisis de programas, por ejemplo, en el análisis de flujo de datos , que a menudo se requiere para la optimización del código . También son el concepto central utilizado por la interpretación abstracta del método de análisis de programa genérico . [6]
- En la teoría de tipos , el combinador de punto fijo permite la definición de funciones recursivas en el cálculo lambda sin tipo .
- El vector de valores de PageRank de todas las páginas web es el punto fijo de una transformación lineal derivada de la estructura de enlaces de la World Wide Web .
- La distribución estacionaria de una cadena de Markov es el punto fijo de la función de probabilidad de transición de un paso.
- El lógico Saul Kripke hace uso de puntos fijos en su influyente teoría de la verdad. Muestra cómo se puede generar un predicado de verdad parcialmente definido (uno que permanece indefinido para oraciones problemáticas como " Esta oración no es verdadera "), definiendo recursivamente "verdad" a partir del segmento de un lenguaje que no contiene apariciones de la palabra, y continuar hasta que el proceso deje de producir nuevas oraciones bien definidas. (Esto requiere una infinidad de pasos contables .) Es decir, para un lenguaje L, sea L ′ (léase "L-primo") el lenguaje generado al sumar a L, para cada oración S en L, la oración " S es verdadero. "Se alcanza un punto fijo cuando L ′ es L; en este punto, oraciones como " Esta oración no es verdadera " permanecen indefinidas, por lo que, según Kripke, la teoría es adecuada para un lenguaje natural que contiene su propio predicado de verdad.
Propiedad de punto fijo topológico
Un espacio topológico se dice que tiene la propiedad de punto fijo (FPP) si para cualquier función continua
existe tal que .
El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva por cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva mediante cualquier retracción .
Según el teorema del punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene el FPP. La compacidad por sí sola no implica el FPP y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntarse cómo caracterizar topológicamente el FPP. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición necesaria y suficiente para que el FPP se mantuviera. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que la conjetura fue refutada por Kinoshita, quien encontró un ejemplo de un espacio compacto contráctil sin el FPP. [7]
Generalización a órdenes parciales: prefixpoint y postfixpoint
La noción y la terminología se generalizan en un orden parcial . Deje ≤ ser un orden parcial sobre un conjunto X y dejar que f : X → X ser una función más de X . Entonces un prefixpoint (también escrito pre-fixpoint ) de f es cualquier p tal que f ( p ) ≤ p . De manera análoga, un posfijo (o posfijo ) de f es cualquier p tal que p ≤ f ( p ). [8] Una forma de expresar el teorema de Knaster-Tarski es decir que una función monótona en una red completa tiene un punto fijo mínimo que coincide con su punto prefijo mínimo (y de forma similar, su punto fijo más grande coincide con su punto fijo más grande). Los puntos prefijos y postfijos tienen aplicaciones en la informática teórica . [9]
Ver también
- Combinador de punto fijo
- Subgrupo de punto fijo
- Subanillo de punto fijo
- Teoremas del punto fijo
- Vector propio
- Equilibrio
- Puntos fijos de una transformación de Möbius
- Invariante (matemáticas)
- Idempotencia
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Ciclos y puntos fijos de permutaciones
Notas
- ^ Coxeter, HSM (1942). Geometría no euclidiana . Prensa de la Universidad de Toronto . pag. 36.
- ^ GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 27
- ^ Weisstein, Eric W. "Número Dottie" . Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc . Consultado el 23 de julio de 2016 .
- ^ https://journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.4.3174
- ^ https://journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.4.3184
- ^ https://www.di.ens.fr/~cousot/COUSOTpapers/POPL77.shtml
- ^ Kinoshita, S. (1953). "En algún Continua Contractible sin Propiedad de Punto Fijo". Fondo. Matemáticas. 40 (1): 96–98. ISSN 0016-2736 .
- ^ BA Davey; HA Priestley (2002). Introducción a las celosías y el orden . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 182 . ISBN 978-0-521-78451-1.
- ^ Yde Venema (2008) Conferencias sobre el cálculo μ modal Archivado el 21 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.
enlaces externos
- Una solución elegante para dibujar un punto fijo