En álgebra , el subanillo de punto fijo de un automorfismo f de un anillo R es el subanillo de los puntos fijos de f :
De manera más general, si G es un grupo que actúa sobre R , entonces el subanillo de R :
se llama subanillo fijo o, más tradicionalmente, anillo de invariantes . En la teoría de Galois , cuando R es un campo y G es un grupo de automorfismos de campo, el anillo fijo es un subcampo llamado campo fijo del grupo de automorfismos; ver Teorema fundamental de la teoría de Galois .
Junto con un módulo de covariantes , el anillo de invariantes es un objeto central de estudio en la teoría de invariantes . Geométricamente, los anillos de invariantes son los anillos de coordenadas de cocientes de GIT (afines o proyectivos) y juegan un papel fundamental en las construcciones en la teoría de invariantes geométricas .
Ejemplo : Letser un anillo polinomial en n variables. El grupo simétrico S n actúa sobre R permutando las variables. Entonces el anillo de invariantes R G es el anillo de polinomios simétricos . Si un grupo algebraico reductora G actúa sobre R , entonces el teorema fundamental de la teoría de invariantes describe los generadores de R G .
El decimocuarto problema de Hilbert pregunta si el anillo de invariantes se genera finitamente o no (la respuesta es afirmativa si G es un grupo algebraico reductivo según el teorema de Nagata). La generación finita se ve fácilmente para un grupo finito G que actúa sobre un álgebra R generada finitamente : dado que R es integral sobre R G , [1] el lema de Artin-Tate implica que R G es un álgebra generada finitamente. La respuesta es negativa para algunos grupos unipotentes .
Sea G un grupo finito. Sea S el álgebra simétrica de un módulo G de dimensión finita . Entonces G es un grupo de reflexión si y solo sies un módulo libre (de rango finito ) sobre S G (teorema de Chevalley). [ cita requerida ]
En geometría diferencial , si G es un grupo de Lie ysu álgebra de Lie , luego cada paquete G principal en una variedad M determina un homomorfismo de álgebra graduada (llamado homomorfismo de Chern-Weil )
dónde es el anillo de funciones polinomiales eny G actúa sobrepor representación adjunta .
Ver también
Notas
- ^ Dado r en R , el polinomioes un polinomio mónico sobre R G y tiene r como una de sus raíces.
Referencias
- Mukai, Shigeru; Oxbury, WM (8 de septiembre de 2003) [1998], Introducción a los invariantes y módulos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 81 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1, Señor 2004218
- Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariante , Lecture Notes in Mathematics, 585 , Springer