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El artículo " Sur quelques points d'algèbre homologique " de Alexander Grothendieck , [1] ahora a menudo referido como el artículo de Tôhoku , [2] [ verificación fallida ] fue publicado en 1957 en el Tôhoku Mathematical Journal . Ha revolucionado el tema del álgebra homológica , un aspecto puramente algebraico de la topología algebraica . [3] Eliminó la necesidad de distinguir los casos de módulos sobre un anillo y haces de grupos abelianos sobre un espacio topológico .[4]

Antecedentes

El material del artículo data del año de Grothendieck en la Universidad de Kansas en 1955-1955. La investigación allí le permitió poner el álgebra homológica sobre una base axiomática, al introducir el concepto de categoría abeliana . [5] [6]

Un tratamiento de libro de texto del álgebra homológica, "Cartan-Eilenberg", según los autores Henri Cartan y Samuel Eilenberg , apareció en 1956. El trabajo de Grothendieck fue en gran medida independiente de él. Su concepto de categoría abeliana había sido anticipado al menos parcialmente por otros. [7] David Buchsbaum en su tesis doctoral escrita bajo Eilenberg había introducido una noción de " categoría exacta " cercana al concepto de categoría abeliana (necesitando sólo sumas directas para ser idénticas); y había formulado la idea de " suficientes inyectables ". [8] El artículo de Tôhoku contiene un argumento para demostrar que una categoría de Grothendieck(un tipo particular de categoría abeliana, el nombre viene después) tiene suficientes inyecciones; el autor indicó que la prueba era de tipo estándar. [9] Al mostrar por este medio que las categorías de haces de grupos abelianos admitían resoluciones inyectivas , Grothendieck fue más allá de la teoría disponible en Cartan-Eilenberg, para probar la existencia de una teoría de la cohomología en general. [10]

Desarrollos posteriores

Después del teorema de Gabriel-Popescu de 1964, se sabía que cada categoría de Grothendieck es una categoría de cociente de una categoría de módulo . [11]

El artículo de Tôhoku también introdujo la secuencia espectral de Grothendieck asociada a la composición de los functores derivados . [12] En una reconsideración adicional de los fundamentos del álgebra homológica, Grothendieck introdujo y desarrolló con Jean-Louis Verdier el concepto de categoría derivada . [13] La motivación inicial, como anunció Grothendieck en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , fue formular resultados sobre la dualidad coherente , que ahora se conoce con el nombre de "dualidad de Grothendieck". [14]

Notas

  1. ↑ Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119-221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , MR  0102537. Traducción inglesa .
  2. ^ Schlager, Neil; Lauer, Josh (2000), Science and Its Times: 1950-presente. Volumen 7 de La ciencia y su época: Comprensión del significado social del descubrimiento científico , Gale Group, p. 251, ISBN 9780787639396.
  3. ^ Sooyoung Chang (2011). Genealogía académica de matemáticos . World Scientific. pag. 115. ISBN 978-981-4282-29-1.
  4. ^ Jean-Paul Pier (1 de enero de 2000). Desarrollo de las Matemáticas 1950-2000 . Springer Science & Business Media. pag. 715. ISBN 978-3-7643-6280-5.
  5. ^ Pierre Cartier; Luc Illusie; Nicholas M. Katz; Gérard Laumon; Yuri I. Manin (22 de diciembre de 2006). The Grothendieck Festschrift, Volumen I: Una colección de artículos escritos en honor al 60 aniversario de Alexander Grothendieck . Springer Science & Business Media. pag. vii. ISBN 978-0-8176-4566-3.
  6. ^ Piotr Pragacz (6 de abril de 2005). Temas en Estudios Cohomológicos de Variedades Algebraicas: Apuntes de Conferencia Impanga . Springer Science & Business Media. pag. xiv – xv. ISBN 978-3-7643-7214-9.
  7. ^ "Tohoku en nLab" . Consultado el 2 de diciembre de 2014 .
  8. ^ MI James (24 de agosto de 1999). Historia de la topología . Elsevier. pag. 815. ISBN 978-0-08-053407-7.
  9. ^ Amnon Neeman (enero de 2001). Categorías trianguladas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 19. ISBN 0-691-08686-9.
  10. ^ Giandomenico Sica (1 de enero de 2006). ¿Qué es la teoría de categorías? . Polimetrica sas págs. 236–7. ISBN 978-88-7699-031-1.
  11. ^ "Categoría de Grothendieck - enciclopedia de las matemáticas" . Consultado el 2 de diciembre de 2014 .
  12. ^ Charles A. Weibel (27 de octubre de 1995). Introducción al álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 150. ISBN 978-0-521-55987-4.
  13. ^ Ravi Vakil (2005). Conferencias de Snowbird en Geometría Algebraica: Actas de una Conferencia de Investigación Conjunta de Verano AMS-IMS-SIAM sobre Geometría Algebraica: Presentaciones de Jóvenes Investigadores, 4-8 de julio de 2004 . American Mathematical Soc. págs. 44–5. ISBN 978-0-8218-5720-5.
  14. ^ Amnon Neeman, "Categorías derivadas y dualidad de Grothendieck" , en la p. 7

Enlaces externos

  • Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique" , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 : 119-221. Traducción inglesa .
  • Tohoku Paper de Grothendieck y topología combinatoria