En geometría algebraica , los flips y flops son operaciones de cirugía de codimensión 2 que surgen en el programa de modelo mínimo , dado por el estallido a lo largo de un anillo canónico relativo . En la dimensión 3, los flips se utilizan para construir modelos mínimos, y dos modelos mínimos biracionalmente equivalentes están conectados por una secuencia de flops. Se conjetura que lo mismo ocurre en dimensiones superiores.
El programa de modelo mínimo
El programa modelo mínimo se puede resumir muy brevemente de la siguiente manera: dada una variedad , construimos una secuencia de contracciones , cada una de las cuales contrae unas curvas sobre las que el divisor canónico es negativo. Finalmente,debería convertirse en nef (al menos en el caso de una dimensión de Kodaira no negativa ), que es el resultado deseado. El principal problema técnico es que, en algún momento, la variedad puede volverse 'demasiado singular', en el sentido de que el divisor canónico ya no es un divisor de Cartier , por lo que el número de intersección con una curva ni siquiera está definido.
La solución (conjetural) a este problema es la inversión . Dada una problemática como arriba, el giro de es un mapa biracional (de hecho, un isomorfismo en la codimensión 1) a una variedad cuyas singularidades son 'mejores' que las de . Entonces podemos ponery continúe el proceso. [1]
Dos problemas importantes relacionados con los giros son mostrar que existen y mostrar que no se puede tener una secuencia infinita de giros. Si ambos problemas pueden resolverse, entonces se puede llevar a cabo el programa de modelo mínimo. Mori (1988) demostró la existencia de flips para 3 pliegues . La existencia de volteretas, un tipo más general de volteretas, en la dimensión tres y cuatro, fue probada por Shokurov ( 1993 , 2003 ) cuyo trabajo fue fundamental para la solución de la existencia de volteretas y otros problemas de dimensión superior. La existencia de volteretas de troncos en dimensiones superiores ha sido resuelta por (Caucher Birkar, Paolo Cascini & Christopher D. Hacon et al. 2010 ). Por otro lado, el problema de la terminación, que demuestra que no puede haber una secuencia infinita de giros, sigue abierto en dimensiones mayores que 3.
Definición
Si es un morfismo, y K es el paquete canónico de X , entonces el anillo canónico relativo de f es
y es un haz de álgebras graduadas sobre el haz de las funciones regulares sobre Y . La explosión
de Y a lo largo del anillo canónica relativa es un morfismo a Y . Si el anillo canónico relativo se genera finitamente (como un álgebra sobre ) luego el morfismo se llama la vuelta de Si es relativamente amplio, y el fracaso desi K es relativamente trivial. (A veces, el morfismo biracional inducido de a se llama flip o flop.)
En aplicaciones, es a menudo una pequeña contracción de un rayo extremo, lo que implica varias propiedades adicionales:
- Los conjuntos excepcionales de ambos mapas y tener codimensión al menos 2,
- y solo tienen singularidades leves, como singularidades terminales .
- y son morfismos biracionales sobre Y , que es normal y proyectiva.
- Todas las curvas en las fibras de y son numéricamente proporcionales.
Ejemplos de
El primer ejemplo de un flop, conocido como Atiyah flop , se encontró en ( Atiyah 1958 ). Sea Y los ceros de en , y sea V la explosión de Y en el origen. El lugar excepcional de esta explosión es isomorfo a, y puede volar hasta de dos formas diferentes, dando variedades y . El mapa biracional natural de a es el fracaso de Atiyah.
Reid (1983) introdujo la pagoda de Reid , una generalización del fracaso de Atiyah reemplazando Y por los ceros de.
Referencias
- ^ Más precisamente, hay una conjetura que establece que cada secuencia ⇢ ⇢ ⇢ ⇢ de volteretas de variedades con singularidades terminales logarítmicas de Kawamata, proyectivas sobre una variedad normal fija termina después de un número finito de pasos.
- Atiyah, Michael Francis (1958), "Sobre superficies analíticas con puntos dobles", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098 / rspa.1958.0181 , MR 0095974
- Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo logarítmico general", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..405B , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3 , ISSN 0894-0347 , MR 2601039
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- Mori, Shigefumi (1988), "Teorema del tirón y la existencia de modelos mínimos para 3 pliegues", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117-253, doi : 10.1090 / s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR 1990969 , MR 0924704
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