En geometría algebraica , un conjunto de líneas en una variedad proyectiva es nef si tiene un grado no negativo en cada curva de la variedad. Las clases de haces de líneas nef se describen mediante un cono convexo , y las posibles contracciones de la variedad corresponden a ciertas caras del cono nef. En vista de la correspondencia entre los paquetes de líneas y los divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de un divisor nef .
Definición
Más en general, una línea de haz de L en un apropiado esquema de X sobre un campo k se dice que es nef si tiene grado no negativa en cada (cerrado irreducible curva) en X . [1] (El grado de una línea de haz de L en una curva adecuada C sobre k es el grado del divisor ( s ) de cualquier sección diferente de cero racional s de L ). Un haz de línea también puede ser llamado un fajo invertible .
Miles Reid introdujo el término "nef" en sustitución de los términos más antiguos "aritméticamente eficaz" ( Zariski 1962 , definición 7.6) y "numéricamente eficaz", así como de la frase "numéricamente finalmente libre". [2] Los términos más antiguos eran engañosos, en vista de los ejemplos siguientes.
Cada paquete de líneas L en una curva C adecuada sobre k que tiene una sección global que no es idénticamente cero tiene un grado no negativo. Como resultado, un conjunto de líneas sin puntos base en un esquema adecuado X sobre k tiene un grado no negativo en cada curva de X ; es decir, es nef. [3] De manera más general, un paquete de líneas L se llama semi-amplio si alguna potencia tensorial positiva es libre de puntos base. De ello se deduce que un paquete de líneas semi-amplio es nef. Los paquetes de líneas semi-amplios pueden considerarse la principal fuente geométrica de los paquetes de líneas nef, aunque los dos conceptos no son equivalentes; vea los ejemplos a continuación.
A Cartier divisor D en un esquema adecuado X sobre un campo se dice que es nef si el haz de línea asociada O ( D ) es nef en X . De manera equivalente, D es nef si el número de intersección es no negativo para cada curva C en X .
Para volver de los paquetes de líneas a los divisores, la primera clase de Chern es el isomorfismo del grupo Picard de paquetes de líneas en una variedad X al grupo de equivalencia lineal de módulo de divisores de Cartier . Explícitamente, la primera clase Chernes el divisor ( s ) de cualquier sección diferente de cero racional s de L . [4]
El cono nef
Para trabajar con desigualdades, es conveniente considerar los divisores R , es decir, combinaciones lineales finitas de divisores de Cartier con coeficientes reales . Los divisores R módulo de equivalencia numérica forman un espacio vectorial real de dimensión finita, el grupo Néron-Severi tenso con los números reales. [5] (Explícitamente: se dice que dos divisores R son numéricamente equivalentes si tienen el mismo número de intersección con todas las curvas en X ). Un divisor R se llama nef si tiene un grado no negativo en cada curva. Los divisores nef R forman un cono convexo cerrado en, el cono nef Nef ( X ).
El cono de curvas se define como el cono convexo de combinaciones lineales de curvas con coeficientes reales no negativos en el espacio vectorial real.de equivalencia numérica de módulo de 1 ciclos. Los espacios vectoriales y son duales entre sí por el emparejamiento de intersección, y el cono nef es (por definición) el cono dual del cono de curvas. [6]
Un problema importante en la geometría algebraica es analizar qué paquetes de líneas son amplios , ya que eso equivale a describir las diferentes formas en que una variedad puede incrustarse en el espacio proyectivo. Una respuesta es el criterio de Kleiman (1966): para un esquema proyectivo X sobre un campo, un paquete de líneas (o divisor R ) es amplio si y solo si su clase ense encuentra en el interior del cono nef. [7] (Un divisor R se llama amplio si se puede escribir como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios.) Se sigue del criterio de Kleiman que, para X proyectivo, cada divisor R nef en X es un límite de amplio Divisores R en. De hecho, para D nef y A ample, D + cA es suficiente para todos los números reales c > 0.
Definición métrica de paquetes de líneas nef
Sea X una variedad compleja compacta con una métrica hermitiana fija , vista como una forma positiva (1,1) . Siguiendo a Jean-Pierre Demailly , Thomas Peternell y Michael Schneider, se dice que un paquete de líneas holomórficas L sobre X es nef si para cadahay una métrica hermitiana suaveen L cuya curvatura satisface. Cuando X es proyectiva sobre C , esto es equivalente a la definición anterior (que L tiene un grado no negativo en todas las curvas de X ). [8]
Incluso para X proyectiva sobre C , un paquete de líneas nef L no necesita tener una métrica hermitiana h con curvatura, lo que explica la definición más complicada que se acaba de dar. [9]
Ejemplos de
- Si X es una superficie proyectiva lisa y C es una curva (irreducible) en X con un número de auto-intersección, entonces C es nef en X , porque dos curvas distintas en una superficie tienen un número de intersección no negativo. Si, Entonces C es eficaz pero no nef en X . Por ejemplo, si X es el estallido de una superficie proyectiva lisa Y en un punto, entonces la curva excepcional E del estallido posee .
- Cada divisor efectivo en una variedad de bandera o variedad abeliana es nef, usando que estas variedades tienen una acción transitiva de un grupo algebraico conectado . [10]
- Cada línea de haz L de grado 0 en una suave complejo curva proyectiva X es nef, pero L es semi-amplio si y sólo si L es la torsión en el grupo de Picard de X . Para X del género g al menos 1, la mayoría de los haces de líneas de grado 0 no son torsión, usando que el jacobiano de X es una variedad abeliana de dimensión g .
- Cada paquete de líneas semi-amplio es nef, pero no todos los paquetes de líneas nef son ni siquiera numéricamente equivalentes a un paquete de líneas semi-amplio. Por ejemplo, David Mumford construyó un paquete de líneas L en una superficie reglada adecuada X tal que L tiene un grado positivo en todas las curvas, pero el número de intersecciónes cero. [11] De ello se deduce que L es nef, pero no un múltiplo positivo dees numéricamente equivalente a un divisor efectivo. En particular, el espacio de las secciones globaleses cero para todos los enteros positivos a .
Contracciones y cono nef
Una contracción de una variedad proyectiva normal X sobre un campo k es un morfismo sobreyectivocon Y una variedad proyectiva normal sobre k tal que. (La última condición implica que f tiene fibras conectadas , y es equivalente a f tener fibras conectadas si k tiene característica cero. [12] ) Una contracción se llama fibración si dim ( Y )
Una cara F de un convexas cono N medios una convexa subcone tales que cualesquiera dos puntos de N cuya suma es en F mismos deben estar en F . Una contracción de X determina una cara F del cono nef de X , es decir, la intersección de Nef ( X ) con el retroceso . Por el contrario, dada la variedad X , la cara F del cono nef determina la contracciónhasta el isomorfismo. De hecho, hay un paquete de líneas semi-amplio L en X cuya clase enestá en el interior de F (por ejemplo, tome L como el retroceso a X de cualquier paquete de línea amplio en Y ). Cualquier paquete de líneas de este tipo determina Y por la construcción del proyecto : [14]
Para describir Y en términos geométricos: una curva C en X se asigna a un punto en Y si y sólo si L tiene grado cero en C .
Como resultado, hay una correspondencia uno-a-uno entre las contracciones de X y algunas de las caras del cono nef de X . [15] (Esta correspondencia también se puede formular dualmente, en términos de caras del cono de curvas.) Saber qué haces de líneas nef son semi-amplios determinaría qué caras corresponden a contracciones. El teorema del cono describe una clase significativa de caras que corresponden a contracciones, y la conjetura de abundancia daría más.
Ejemplo: sea X la explosión del plano proyectivo complejoen un punto p . Sea H el retroceso a X de una línea en, y sea E la curva excepcional de la explosión. Entonces X tiene el número 2 de Picard, lo que significa que el espacio vectorial realtiene dimensión 2. Por la geometría de conos convexos de dimensión 2, el cono nef debe estar atravesado por dos rayos; explícitamente, estos son los rayos atravesado por H y H - E . [16] En este ejemplo, ambos rayos corresponden a contracciones de X : H da el morfismo biracional, y H - E da una fibración con fibras isomorfas a (correspondiente a las líneas en a través del punto p ). Dado que el cono nef de X no tiene otras caras no triviales, estas son las únicas contracciones no triviales de X ; eso sería más difícil de ver sin la relación con los conos convexos.
Notas
- ^ Lazarsfeld (2004), definición 1.4.1.
- ^ Reid (1983), sección 0.12f.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.4.5.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.1.5.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.3.10.
- ^ Lazarsfeld (2004), Definición 1.4.25.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.23.
- ^ Demailly et al. (1994), sección 1.
- ^ Demailly et al. (1994), ejemplo 1.7.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.4.7.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.5.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.11.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 2.1.12.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 2.1.27.
- ^ Kollár y Mori (1998), Observación 1.26.
- ^ Kollár y Mori (1998), Lema 1.22 y Ejemplo 1.23 (1).
Referencias
- Demailly, Jean-Pierre ; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1994), "Variedades complejas compactas con haces tangentes numéricamente efectivos" (PDF) , Journal of Algebraic Geometry , 3 : 295–345, MR 1257325
- Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
- Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , 1 , Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471
- Reid, Miles (1983), "Modelos mínimos de 3 pliegues canónicos", Variedades algebraicas y variedades analíticas (Tokio, 1981) , Advanced Studies in Pure Mathematics, 1 , North-Holland, págs. 131–180, doi : 10.2969 / aspm / 00110131 , ISBN 0-444-86612-4, MR 0715649
- Zariski, Oscar (1962), "El teorema de Riemann-Roch para múltiplos altos de un divisor efectivo en una superficie algebraica", Annals of Mathematics , 2, 76 : 560–615, doi : 10.2307 / 1970376 , MR 0141668