En álgebra conmutativa y geometría algebraica , un morfismo se llama formalmente étale si tiene una propiedad de elevación que es análoga a ser un difeomorfismo local .
Homomorfismos formalmente étale de anillos
Sea A un anillo topológico y sea B un A- álgebra topológica . Entonces B es formalmente étale si para todas las álgebras A discretas C , todos los ideales nilpotentes J de C , y todos los homomorfismos A continuos u : B → C / J , existe un único mapa de álgebra A continua v : B → C tal que u = pv , donde p : C → C / J es la proyección canónica. [1]
Formalmente étale equivale a formalmente suave más formalmente unramificado . [2]
Morfismos formalmente étale de esquemas
Dado que el haz de estructura de un esquema lleva naturalmente solo la topología discreta, la noción de formalmente étale para esquemas es análoga a formalmente étale para la topología discreta para anillos. Es decir, un morfismo de esquemas f : X → Y es formalmente étale si para cada esquema Y afín Z , cada haz nilpotente de ideales J sobre Z con i : Z 0 → Z es la inmersión cerrada determinada por J , y cada Y -morfismo g : Z 0 → X , existe un único Y -morfismo s : Z → X tal que g = si . [3]
Es equivalente a dejar que Z sea cualquier Y -Esquema y dejar que J sea una gavilla localmente nilpotente de ideales en Z . [4]
Propiedades
- Las inmersiones abiertas son formalmente étale. [5]
- La propiedad de ser formalmente étale se conserva bajo compuestos, cambio de base y productos fibrados . [6]
- Si f : X → Y y g : Y → Z son morfismos de esquemas, g es formalmente unramified, y GF es formalmente étale, entonces f es formalmente étale. En particular, si g es formalmente étale, entonces f es formalmente étale si y solo si gf lo es. [7]
- La propiedad de ser formalmente étale es local en la fuente y el destino. [8]
- La propiedad de ser formalmente étale se puede comprobar en los tallos. Se puede demostrar que un morfismo de anillos f : A → B es formalmente étale si y sólo si para cada primo Q de B , el mapa inducido A → B Q es formalmente étale. [9] En consecuencia, f es formalmente étale si y sólo si para cada primo Q de B , el mapa A P → B Q es formalmente étale, donde P = f −1 ( Q ) .
Ejemplos de
Ver también
Notas
- ↑ EGA 0 IV , Definición 19.10.2.
- ↑ EGA 0 IV , Definición 19.10.2.
- ↑ EGA IV 4 , Definición 17.1.1.
- ↑ EGA IV 4 , Remarques 17.1.2 (iv).
- ^ EGA IV 4 , proposición 17.1.3 (i).
- ^ EGA IV 4 , proposición 17.1.3 (ii) - (iv).
- ^ EGA IV 4 , proposición 17.1.4 y corollaire 17.1.5.
- ^ EGA IV 4 , proposición 17.1.6.
- ^ pregunta mathoverflow.net
- ↑ Ford (2017 , Corolario 4.7.3)
Referencias
- Ford, Timothy J. (2017), Álgebras separables , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR 3618889
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor 0173675 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 .