En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un retroceso (también llamado un producto de fibra , producto de fibra , productos fibrosos o cuadrado cartesiano ) es el límite de un diagrama que consta de dos morfismos f : X → Z y g : Y → Z con una codominio común. El retroceso a menudo se escribe
- P = X × Z Y
y viene equipado con dos morfismos naturales P → X y P → Y . El retroceso de dos morfismos f y g necesidad no existe, pero si lo hace, es esencialmente define únicamente por las dos morfismos. En muchas situaciones, se puede pensar intuitivamente que X × Z Y consta de pares de elementos ( x , y ) con x en X , y en Y y f ( x ) = g ( y ) . Para la definición general, se usa una propiedad universal , que esencialmente expresa el hecho de que el retroceso es la forma "más general" de completar los dos morfismos dados en un cuadrado conmutativo .
El concepto dual del retroceso es el empuje .
Propiedad universal
Explícitamente, un retroceso de los morfismos f y g se compone de un objeto P y dos morfismos p 1 : P → X y p 2 : P → Y para que el diagrama
conmuta . Además, el retroceso ( P , p 1 , p 2 ) debe ser universal con respecto a este diagrama. [1] Es decir, para cualquier otro triple ( Q , q 1 , q 2 ) donde q 1 : Q → X y q 2 : Q → Y son morfismos con f q 1 = g q 2 , debe existir un único u : Q → P tal que
Esta situación se ilustra en el siguiente diagrama conmutativo.
Al igual que con todas las construcciones universales, un retroceso, si existe, es único hasta el isomorfismo . De hecho, dados dos pullbacks ( A , a 1 , a 2 ) y ( B , b 1 , b 2 ) del mismo cospan X → Z ← Y , existe un isomorfismo único entre A y B respetando la estructura de pullback.
Retroceso y producto
El retroceso es similar al producto , pero no el mismo. Uno puede obtener el producto por "olvidar" que los morfismos f y g existir, y olvidando que el objeto Z existe. Uno queda entonces con una categoría discreta que contiene solo los dos objetos X e Y , y sin flechas entre ellos. Esta categoría discreta se puede utilizar como el conjunto de índices para construir el producto binario ordinario. Por lo tanto, el retroceso se puede considerar como el producto ordinario (cartesiano), pero con una estructura adicional. En lugar de "olvidar" Z , f y g , también se pueden "trivializar" especializando a Z para que sea el objeto terminal (asumiendo que existe). f y g son entonces determinados únicamente y por lo tanto no llevan ninguna información, y la retirada de este cospan pueden ser vistos a ser el producto de X y Y .
Ejemplos de
Anillos conmutativos
En la categoría de anillos conmutativos (con identidad), el retroceso se denomina producto fibrado. Deje que A , B , y C sean anillos conmutativos (con identidad) y α : A → C y β : B → C (identidad preservar) homomorfismos de anillo . Entonces, el retroceso de este diagrama existe y está dado por el subanillo del anillo de producto A × B definido por
junto con los morfismos
dada por y para todos . Entonces tenemos
Grupos, Módulos
En completa analogía con el ejemplo de anillos conmutativos anterior, se puede mostrar que todos los retrocesos existen en la categoría de grupos y en la categoría de módulos sobre algún anillo fijo.
Conjuntos
En la categoría de conjuntos , la retirada de las funciones f : X → Z y g : Y → Z siempre existe y está dada por el conjunto
junto con las restricciones de la proyección mapas π 1 y π 2 a X × Z Y .
Alternativamente, se puede ver el retroceso en el conjunto asimétricamente:
dónde es la unión disjunta de conjuntos (los conjuntos involucrados no son disjuntos por sí mismos a menos que f o g sea inyectivo ). En el primer caso, la proyección ¸ 1 extractos la x índice mientras pi 2 olvida el índice, dejando elementos de Y .
Este ejemplo motiva otra forma de caracterizar el retroceso: como el ecualizador de los morfismos f ∘ p 1 , g ∘ p 2 : X × Y → Z donde X × Y es el producto binario de X e Y y p 1 y p 2 son las proyecciones naturales. Esto muestra que existen retrocesos en cualquier categoría con productos binarios y ecualizadores. De hecho, según el teorema de existencia de límites , todos los límites finitos existen en una categoría con productos binarios y ecualizadores; de manera equivalente, todos los límites finitos existen en una categoría con objeto terminal y retrocesos (por el hecho de que producto binario = retroceso en el objeto terminal, y que un ecualizador es un retroceso que involucra producto binario).
Paquetes de fibra
Otro ejemplo de retroceso proviene de la teoría de los haces de fibras : dado un mapa de haz π : E → B y un mapa continuo f : X → B , el retroceso (formado en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos ) X × B E es un paquete de fibras sobre X llamado paquete de retroceso . El diagrama conmutativo asociado es un morfismo de haces de fibras.
Preimágenes e intersecciones
Las imágenes previas de conjuntos bajo funciones se pueden describir como retrocesos de la siguiente manera:
Supongamos que f : A → B , B 0 ⊆ B . Deje g sea el mapa inclusión B 0 ↪ B . Entonces, un retroceso de f y g (en Conjunto ) viene dado por la preimagen f −1 [ B 0 ] junto con la inclusión de la preimagen en A
- f −1 [ B 0 ] ↪ A
y la restricción de f a f -1 [ B 0 ]
- f −1 [ B 0 ] → B 0 .
Debido a este ejemplo, en una categoría general, el retroceso de un morfismo f y un monomorfismo g puede considerarse como la "preimagen" bajo f del subobjeto especificado por g . De manera similar, los retrocesos de dos monomorfismos se pueden considerar como la "intersección" de los dos subobjetos.
Minimo común multiplo
Considere el monoide multiplicativo de enteros positivos Z + como una categoría con un objeto. En esta categoría, la retirada de dos números enteros positivos m y n es sólo el par (MCM ( m , n )/metro, MCM ( m , n )/norte) , Donde los numeradores son tanto el mínimo común múltiplo de m y n . El mismo par es también el pushout.
Propiedades
- En cualquier categoría con un objeto terminal T , la retirada X × T Y es sólo el ordinario producto X × Y . [2]
- Los monomorfismos son estables bajo retroceso: si la flecha f en el diagrama es monica, entonces también lo es la flecha p 2 . De manera similar, si g es monico, entonces también lo es p 1 . [3]
- Los isomorfismos también son estables y, por lo tanto, por ejemplo, X × X Y ≅ Y para cualquier mapa Y → X (donde el mapa implícito X → X es la identidad).
- En una categoría abeliana existen todos los pullbacks, [4] y conservan los núcleos , en el siguiente sentido: si
- es un diagrama de retroceso, entonces el morfismo inducido ker ( p 2 ) → ker ( f ) es un isomorfismo, [5] y también lo es el morfismo inducido ker ( p 1 ) → ker ( g ) . Cada diagrama de retroceso da lugar a un diagrama conmutativo de la siguiente forma, donde todas las filas y columnas son exactas :
- Además, en una categoría abeliana, si X → Z es un epimorfismo, entonces también lo es su retirada P → Y , y simétricamente: si Y → Z es un epimorfismo, entonces también lo es su retirada P → X . [6] En estas situaciones, el cuadrado de retroceso también es un cuadrado de empuje. [7]
- Hay un isomorfismo naturales ( A × C B ) x B D ≅ A × C D . Explícitamente, esto significa:
- si se dan los mapas f : A → C , g : B → C y h : D → B y
- la retirada de f y g es dada por r : P → A y es : P → B , y
- la retirada de s y h está dado por t : Q → P y T : Q → D ,
- a continuación, la retirada de f y gh está dada por RT : Q → A y u : Q → D .
- Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de retroceso, colocados uno al lado del otro y compartiendo un morfismo, forman un cuadrado de retroceso más grande al ignorar el morfismo compartido interno.
- Cualquier categoría con retrocesos y productos tiene ecualizadores.
Retrocesos débiles
Un retroceso débil de un cospan X → Z ← Y es un cono sobre el cospan que es solo débilmente universal , es decir, no se requiere que el morfismo mediador u : Q → P anterior sea único.
Ver también
- Retrocesos en geometría diferencial
- Equijoin en álgebra relacional
- Producto de fibra de esquemas
Notas
- ^ Mitchell, pág. 9
- ^ Adámek, p. 197.
- ^ Mitchell, pág. 9
- ^ Mitchell, pág. 32
- ^ Mitchell, pág. 15
- ^ Mitchell, pág. 34
- ^ Mitchell, pág. 39
Referencias
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E .; (1990). Categorías abstractas y concretas (4.2MB PDF). Originalmente publ. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea).
- Cohn, Paul M .; Álgebra universal (1981), D. Reidel Publishing, Holanda, ISBN 90-277-1213-1 (Publicado originalmente en 1965, por Harper & Row) .
- Mitchell, Barry (1965). Teoría de Categorías . Prensa académica.
enlaces externos
- Página web interactiva que genera ejemplos de pullbacks en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.
- retroceso en nLab