En el análisis matemático , los operadores integrales de Fourier se han convertido en una herramienta importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La clase de operadores integrales de Fourier contiene tanto operadores diferenciales como operadores integrales clásicos como casos especiales.
Un operador integral de Fourier es dado por:
dónde denota la transformada de Fourier de , es un símbolo estándar que se apoya de forma compacta en y es real valorado y homogéneo de grado en . También es necesario exigir quecon el apoyo de a. En estas condiciones, si a es de orden cero, es posible demostrar que define un operador acotado de a . [1]
Ejemplos de
Una motivación para el estudio de los operadores integrales de Fourier es el operador de solución para el problema de valor inicial para el operador de onda. De hecho, considere el siguiente problema:
y
La solución a este problema viene dada por
Estos deben interpretarse como integrales oscilatorias ya que, en general, no convergen. Esto parece formalmente una suma de dos operadores integrales de Fourier, sin embargo, los coeficientes en cada una de las integrales no son uniformes en el origen y, por lo tanto, no son símbolos estándar. Si cortamos esta singularidad con una función de corte, entonces los operadores así obtenidos aún proporcionan soluciones al problema del valor inicial de las funciones modulo suave. Así, si solo nos interesa la propagación de singularidades de los datos iniciales, basta con considerar tales operadores. De hecho, si permitimos que la velocidad del sonido c en la ecuación de onda varíe con la posición, aún podemos encontrar un operador integral de Fourier que proporcione una solución de funciones modulo suave, y los operadores integrales de Fourier proporcionan una herramienta útil para estudiar la propagación de singularidades soluciones a las ecuaciones de onda de velocidad variable y, de manera más general, a otras ecuaciones hiperbólicas.
Ver también
Notas
- ^ Hörmander, Lars (1970), "Operadores integrales de Fourier. I", Acta Mathematica , Springer Holanda, 127 : 79-183, doi : 10.1007 / BF02392052
Referencias
- Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Prensa de la Universidad de Princeton, 1993. ISBN 0-691-03216-5
- F. Treves, Introducción a los Operadores Pseudo Diferenciales e Integrales de Fourier, (Serie Universitaria en Matemáticas), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
- JJ Duistermaat , Operadores integrales de Fourier, (Progreso en matemáticas), Birkhäuser 1995. ISBN 0-8176-3821-0
enlaces externos
- "Operador integral de Fourier" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]