Operador integral oscilatorio

clase de operador integral y diferencial

En matemáticas , en el campo del análisis armónico , un operador integral oscilatorio es un operador integral de la forma

${\displaystyle T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbf {R} ^{m},\quad y\in \mathbf {R} ^{n},}$

donde la función S (x, y) se llama fase del operador y la función a (x, y) se llama símbolo del operador. λ es un parámetro. A menudo se considera que S (x, y) tiene valor real y es suave, y que a (x, y) es suave y con un soporte compacto . Por lo general, uno está interesado en el comportamiento de T _λ para valores grandes de λ.

Los operadores integrales oscilatorios aparecen a menudo en muchos campos de las matemáticas ( análisis , ecuaciones diferenciales parciales , geometría integral , teoría de números ) y en física. Elias Stein y su escuela han estudiado las propiedades de los operadores integrales oscilatorios . ^[1]

Teorema de Hörmander

El siguiente límite en la acción L ² → L ² de los operadores integrales oscilatorios (o la norma del operador L ² → L ² ) fue obtenido por Lars Hörmander en su artículo sobre los operadores integrales de Fourier : ^[2]

Suponga que x, y ∈ R ⁿ , n ≥ 1. Sea S (x, y) un valor real y uniforme, y que a (x, y) sea ​​suave y con un soporte compacto . Si${\displaystyle \mathop {\rm {det}} _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$en todas partes sobre el soporte de a (x, y) , entonces hay una constante C tal que T _λ , que inicialmente se define en funciones suaves , se extiende a un operador continuo de L ² ( R ⁿ ) a L ² ( R ⁿ ) , con la norma delimitada por${\displaystyle C\lambda ^{-n/2}}$, para cualquier λ ≥ 1:

${\displaystyle \|T_{\lambda }\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}.}$

Referencias

1. Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Prensa de la Universidad de Princeton, 1993. ISBN  0-691-03216-5
2. Operadores integrales de L. Hörmander Fourier , Acta Math. 127 (1971), 79-183. doi 10.1007 / BF02392052, https://doi.org/10.1007%2FBF02392052