En lógica matemática , específicamente en la disciplina de la teoría de modelos , el límite de Fraïssé (también llamado construcción Fraïssé o fusión de Fraïssé ) es un método utilizado para construir estructuras matemáticas (infinitas) a partir de sus subestructuras (finitas) . Es un ejemplo especial del concepto más general de límite directo en una categoría . [1] La técnica fue desarrollada en la década de 1950 por su homónimo, el lógico francés Roland Fraïssé . [2]
El punto principal de la construcción de Fraïssé es mostrar cómo se puede aproximar una estructura ( contable ) por sus subestructuras generadas finitamente. Dada una clase de estructuras relacionales finitas , sisatisface ciertas propiedades (descritas a continuación), entonces existe una estructura contable única, llamado el límite de Fraïssé de , que contiene todos los elementos de como subestructuras .
El estudio general de los límites de Fraïssé y las nociones relacionadas a veces se denomina teoría de Fraïssé . Este campo ha tenido amplias aplicaciones en otras partes de las matemáticas, incluida la dinámica topológica , el análisis funcional y la teoría de Ramsey . [3]
Subestructuras y edad generadas finamente
Fijar un idioma . Por una-estructura , nos referimos a una estructura lógica que tiene firma .
Dado un -estructura con dominio y un subconjunto , usamos para denotar la menor subestructura de cuyo dominio contiene (es decir, el cierre de bajo todas las funciones y símbolos constantes en ).
Una subestructura de Entonces se dice que se genera finitamente sipara algún subconjunto finito. [4] La edad de, denotado, es la clase de todas las subestructuras generadas finitamente de .
Se puede demostrar que cualquier clase que es la edad de alguna estructura satisface las siguientes dos condiciones:
Propiedad hereditaria (HP)
- Si y es una subestructura generada finitamente de , luego es isomorfo a alguna estructura en .
Propiedad de incrustación conjunta (JEP)
- Si , entonces existe tal que ambos y son incrustables en .
Teorema de Fraïssé
![Amalgamation Property commutative diagram](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Amalgamation_property.svg/200px-Amalgamation_property.svg.png)
Como se indicó anteriormente, notamos que para cualquier -estructura , satisface el HP y el JEP. Fraïssé demostró una especie de resultado inverso: cuando es cualquier conjunto contable no vacío de finita generada -estructuras que tienen las dos propiedades anteriores, entonces es la edad de alguna estructura contable.
Además, suponga que pasa a satisfacer las siguientes propiedades adicionales.
Propiedad de fusión (AP)
- Para cualquier estructura , de modo que existan incrustaciones , , existe una estructura e incrustaciones , tal que (es decir, coinciden en la imagen de A en ambas estructuras).
Contabilidad esencial (EC)
- Hasta el isomorfismo, existen innumerables estructuras en .
En ese caso, decimos que K es una clase Fraïssé , y hay una estructura única (hasta isomorfismo), contable, homogénea cuya edad es exactamente . [5] Esta estructura se llama el límite de Fraïssé de.
Aquí, homogéneo significa que cualquier isomorfismo entre dos subestructuras generadas finitamente puede extenderse a un automorfismo de toda la estructura.
Ejemplos de
El ejemplo arquetípico es la clase de todos los ordenamientos lineales finitos , para los cuales el límite de Fraïssé es un orden lineal denso sin puntos finales (es decir, sin elemento más pequeño ni más grande ). Hasta el isomorfismo, esto siempre equivale a la estructura, es decir, los números racionales con el orden habitual.
Como no ejemplo, tenga en cuenta que ninguno ni son el límite Fraïssé de . Esto se debe a que, aunque ambos son contables y tienencomo su edad, ninguno es homogéneo. Para ver esto, considere las subestructuras y , y el isomorfismo entre ellos. Esto no se puede extender a un automorfismo de o , ya que no hay ningún elemento al que podamos asignar , sin dejar de preservar el orden.
Otro ejemplo es la clase de todos los gráficos finitos , cuyo límite de Fraïssé es el gráfico de Rado . [1]
ω-categoricidad
Supongamos que nuestra clase bajo consideración satisface la propiedad adicional de ser uniformemente finito localmente , lo que significa que para cada, hay un límite uniforme en el tamaño de un -Subestructura generada. Esta condición es equivalente al límite de Fraïssé desiendo ω-categórico .
Por ejemplo, la clase de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo fijo es siempre una clase Fraïssé, pero es uniformemente localmente finita solo si el campo es finito.
Ver también
Referencias
- ^ a b "El Café de categoría n" . golem.ph.utexas.edu . Consultado el 8 de enero de 2020 .
- ^ Hodges, Wilfrid. (1997). Una teoría de modelos más breve . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58713-1. OCLC 468298248 .
- ^ Lupini, Martino (noviembre de 2018). "Límites de Fraïssé en el análisis funcional" (PDF) . Avances en Matemáticas . 338 : 93-174. doi : 10.1016 / j.aim.2018.08.012 . ISSN 0001-8708 .
- ^ Schlicht, Philipp (7 de enero de 2018). "Una introducción a la teoría de modelos (notas de clase), Defn 2.2.1" (PDF) . Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn .
- ^ Notas sobre grupos de permutación infinitos . Bhattacharjee, M. (Meenaxi), 1965–. Berlín: Springer. 1998. ISBN 3-540-64965-4. OCLC 39700621 .CS1 maint: otros ( enlace )