En matemáticas , la dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades cualitativas y asintóticas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .
Alcance
El objeto central de estudio en dinámica topológica es un sistema dinámico topológico , es decir, un espacio topológico , junto con una transformación continua , un flujo continuo, o más generalmente, un semigrupo de transformaciones continuas de ese espacio. Los orígenes de la dinámica topológica se encuentran en el estudio de las propiedades asintóticas de las trayectorias de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas , en particular, el comportamiento de los conjuntos de límites y diversas manifestaciones de "repetitividad" del movimiento, como las trayectorias periódicas, la recurrencia y la minimidad, estabilidad, puntos de no deambulación . Se considera que George Birkhoff es el fundador del campo. Un teorema de estructura para flujos distales mínimos probado por Hillel Furstenberg a principios de la década de 1960 inspiró mucho trabajo sobre la clasificación de flujos mínimos. En las décadas de 1970 y 1980 se dedicó mucha investigación a la dinámica topológica de mapas unidimensionales, en particular, a los automapas lineales por partes del intervalo y el círculo.
A diferencia de la teoría de los sistemas dinámicos suaves, donde el objeto principal de estudio es una variedad suave con un difeomorfismo o un flujo suave, los espacios de fase considerados en la dinámica topológica son espacios métricos generales (generalmente, compactos ). Esto requiere el desarrollo de técnicas completamente diferentes, pero permite un grado extra de flexibilidad incluso en el entorno suave, porque los subconjuntos invariantes de una variedad son frecuentemente muy complicados topológicamente (cf ciclo límite , atractor extraño ); Además, los espacios de cambio que surgen a través de representaciones simbólicas pueden considerarse en pie de igualdad con acciones más geométricas. La dinámica topológica tiene conexiones íntimas con la teoría ergódica de los sistemas dinámicos, y muchos conceptos fundamentales de esta última tienen análogos topológicos (cf. Entropía y entropía topológica de Kolmogorov-Sinaí ).
Ver también
Referencias
- DV Anosov (2001) [1994], "Dinámica topológica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Joseph Auslander (ed.). "Dinámica topológica" . Scholarpedia .
- Robert Ellis, Conferencias sobre dinámica topológica . WA Benjamin, Inc., Nueva York 1969
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- Ethan Akin, La topología general de sistemas dinámicos , Librería AMS, 2010, ISBN 978-0-8218-4932-3
- J. de Vries, Topological Dynamical Systems: An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings , De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlín, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
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