Colector de Frobenius

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En el campo matemático de la geometría diferencial , una variedad de Frobenius , introducida por Dubrovin, ^[1] es una variedad plana de Riemann con una cierta estructura multiplicativa compatible en el espacio tangente . El concepto generaliza la noción de álgebra de Frobenius a paquetes tangentes.

Las variedades de Frobenius ocurren naturalmente en el tema de la topología simpléctica , más específicamente en la cohomología cuántica . La definición más amplia se encuentra en la categoría de Riemann supervariedades . Limitaremos la discusión aquí para suavizar las variedades (reales). También es posible una restricción a variedades complejas.

Definición

Sea M una variedad suave. Una estructura plana afín en M es un haz T ^f de espacios vectoriales que atraviesan en forma puntual TM el haz tangente y el corchete tangente de pares de sus secciones desaparece.

Como un ejemplo local consideran el vectorfields de coordenadas sobre un gráfico de M . Una variedad admite una estructura plana afín si se pueden unir tales campos vectoriales para una familia de gráficos de cobertura.

Deje más darse una métrica de Riemann g de H . Es compatible con la estructura plana si g ( X ,  Y ) es localmente constante para todos vector plana campos X y  Y .

Una variedad de Riemann admite una estructura plana afín compatible si y solo si su tensor de curvatura desaparece en todas partes.

Una familia de productos conmutativos * en TM es equivalente a una sección A de S ² (T ^* M ) ⊗  TM a través de

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

Requerimos además la propiedad

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

Por lo tanto, la composición g ^# ∘ A es un 3-tensor simétrico.

Esto implica en particular que una variedad de Frobenius lineal ( M ,  g , *) con producto constante es un álgebra M de Frobenius .

Dado ( g ,  T ^f ,  A ), un potencial local Φ es una función local suave tal que

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]\,}$

para todos vector plana campos X , Y , y  Z .

Una variedad Frobenius ( M ,  g , *) es ahora una variedad Riemanniana plana ( M ,  g ) con 3-tensor simétrico A que admite en todas partes un potencial local y es asociativa.

Propiedades elementales

La asociatividad del producto * es equivalente a la siguiente PDE cuadrática en el potencial local Φ

${\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

donde está implícita la convención de suma de Einstein, Φ _{, a} denota la derivada parcial de la función Φ por el campo vectorial de coordenadas ∂ / ∂ x ^a, que se supone que son planos. g ^ef son los coeficientes de la inversa de la métrica.

Por lo tanto, la ecuación se denomina ecuación de asociatividad o ecuación de Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde (WDVV).

Ejemplos de

Además de las álgebras de Frobenius, surgen ejemplos de la cohomología cuántica. Es decir, dada una variedad simpléctica semipositiva ( M ,  ω ) entonces existe una vecindad abierta U de 0 en su cohomología cuántica ^par QH ^incluso ( M ,  ω ) con el anillo de Novikov sobre C de modo que el gran producto cuántico * _a para a en U es analítico. Ahora U junto con la forma de intersección g  = <·, ·> es una variedad (compleja) de Frobenius.

La segunda gran clase de ejemplos de variedades de Frobenius proviene de la teoría de la singularidad. Es decir, el espacio de deformaciones miniversales de una singularidad aislada tiene una estructura múltiple de Frobenius. Esta estructura múltiple de Frobenius también se relaciona con las formas primitivas de Kyoji Saito .

Referencias

1. B. Dubrovin: geometría de las teorías de campo topológico 2D. En: Springer LNM, 1620 (1996), págs. 120–348.

2. Yu.I. Manin, SA Merkulov: Variedades (super) de Frobenius semisimple y cohomología cuántica de P ^r , Topol. Métodos en análisis no lineal 9 (1997), págs. 107-161