Lema fundamental (programa Langlands)
En la teoría matemática de las formas automórficas , el lema fundamental relaciona integrales orbitales en un grupo reductivo sobre un campo local con integrales orbitales estables en sus grupos endoscópicos . [ aclaración necesaria ] Fue conjeturado por Robert Langlands ( 1983 ) en el curso del desarrollo del programa Langlands . El lema fundamental fue probado por Gérard Laumon y Ngô Bảo Châu en el caso de grupos unitarios y luego por Ngô (2010)para grupos reductivos generales, basándose en una serie de importantes reducciones hechas por Jean-Loup Waldspurger al caso de las álgebras de Lie . La revista Time colocó la prueba de Ngô en la lista de los "10 principales descubrimientos científicos de 2009". [1] En 2010, Ngô recibió la medalla Fields por esta prueba.
Langlands describió una estrategia para probar las conjeturas locales y globales de Langlands utilizando la fórmula de trazas de Arthur-Selberg , pero para que este enfoque funcione, los lados geométricos de la fórmula de trazas para diferentes grupos deben estar relacionados de una manera particular. Esta relación toma la forma de identidades entre integrales orbitales en grupos reductores G y H sobre un campo local no arquimediano F , donde el grupo H , llamado grupo endoscópico de G , se construye a partir de G y algunos datos adicionales.
El primer caso considerado fue ( Labesse & Langlands 1979 ). Langlands y Diana Shelstad ( 1987 ) luego desarrollaron el marco general para la teoría de la transferencia endoscópica y formularon conjeturas específicas. Sin embargo, durante las próximas dos décadas solo se hizo un progreso parcial para probar el lema fundamental. [2] [3] Harris lo llamó un "cuello de botella que limita el progreso en una serie de cuestiones aritméticas". [4] El propio Langlands, escribiendo sobre los orígenes de la endoscopia, comentó:
... no es el lema fundamental como tal lo que es crítico para la teoría analítica de las formas automórficas y para la aritmética de las variedades de Shimura ; es la fórmula traza estabilizada (o estable), la reducción de la fórmula traza misma a la fórmula traza estable para un grupo y sus grupos endoscópicos, y la estabilización de la fórmula de Grothendieck-Lefschetz . Nada de esto es posible sin el lema fundamental y su ausencia hizo casi imposible el progreso durante más de veinte años. [5]
El lema fundamental establece que una integral orbital O para un grupo G es igual a una integral orbital estable SO para un grupo endoscópico H , hasta un factor de transferencia Δ ( Nadler 2012 ):
Kottwitz (1992) y Blasius & Rogawski (1992) verificaron algunos casos del lema fundamental para grupos unitarios tridimensionales.