Integral orbital

En matemáticas , una integral orbital es una transformación integral que generaliza el operador de media esférica a espacios homogéneos . En lugar de integrar sobre esferas , se integra sobre esferas generalizadas: para un espacio homogéneo X  =  G / H , una esfera generalizada centrada en un punto x ₀ es una órbita del grupo de isotropía de  x ₀ .

Definición

El caso modelo para integrales orbitales es un espacio simétrico Riemanniano G / K , donde G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto simétrico . Las esferas generalizadas son entonces esferas geodésicas reales y el operador de promediado esférico se define como

${\displaystyle M^{r}f(x)=\int _{K}f(gk\cdot y)\,dk,}$

dónde

• el punto denota la acción del grupo G sobre el espacio homogéneo X
• g  ∈  G es un elemento de grupo tal que x  =  g · o
• y  ∈  X es un elemento arbitrario de la esfera geodésica de radio r centrada en x : d ( x , y ) =  r
• la integración se toma con respecto a la medida de Haar en K (dado que K es compacto, es unimodular y las medidas de Haar izquierda y derecha coinciden y se pueden normalizar para que la masa de K sea ​​1).

Las integrales orbitales de funciones adecuadas también se pueden definir en espacios homogéneos G / K donde ya no se asume que el subgrupo K es compacto, sino que se asume que es solo unimodular. Los espacios simétricos de Lorentz son de este tipo. Las integrales orbitales en este caso también se obtienen mediante la integración de más de un K -orbit en G / K con respecto a la medida de Haar de K . Por lo tanto

${\displaystyle \int _{K}f(gk\cdot y)\,dk}$

es la integral orbital centrada en x sobre la órbita a través de  y . Como arriba, g es un elemento de grupo que representa la clase lateral  x .

Geometría integral

Un problema central de la geometría integral es reconstruir una función a partir del conocimiento de sus integrales orbitales. La transformada Funk y la transformada Radon son dos casos especiales. Cuando G / K es un espacio simétrico de Riemann, el problema es trivial, ya que M ^r ƒ ( x ) es el valor promedio de ƒ sobre la esfera generalizada de radio r , y

${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to 0^{+}}M^{r}f(x).}$

Cuando K es compacto (pero no necesariamente simétrico), funciona un atajo similar. El problema es más interesante cuando K no es compacto. Por ejemplo, la transformada de radón es la integral orbital que resulta de tomar G como el grupo de isometría euclidiana y K como el grupo de isotropía de un hiperplano.

Las integrales orbitales son una herramienta técnica importante en la teoría de formas automórficas , donde entran en la formulación de varias fórmulas de trazas .

Referencias

• Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3

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