En la teoría de números , una variedad Shimura es un análogo de más dimensiones de una curva modular que surge como un cociente variedad de un espacio simétrico hermitiana por un subgrupo congruencia de un grupo algebraico reductora definida sobre Q . Las variedades de Shimura no son variedades algebraicas sino familias de variedades algebraicas. Las curvas Shimura son las variedades Shimura unidimensionales. Las superficies modulares Hilbert y las variedades modulares Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades Shimura.
Goro Shimura introdujo originalmente casos especiales de variedades de Shimura en el curso de su generalización de la teoría de la multiplicación compleja . Shimura demostró que aunque inicialmente se definieron analíticamente, son objetos aritméticos, en el sentido de que admiten modelos definidos sobre un campo numérico , el campo reflejo de la variedad Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para el trabajo de Shimura. En 1979, Robert Langlands comentó que las variedades de Shimura forman un ámbito natural de ejemplos para los que se puede probar la equivalencia entre las funciones L motívicas y automórficas postuladas en el programa Langlands . Las formas automórficas realizadas en la cohomología de una variedad Shimura son más fáciles de estudiar que las formas automórficas generales; en particular, hay una construcción que les une las representaciones de Galois . [1]
Definición
Dato de Shimura
Deje que S = Res C / R G m sean la restricción Weil del grupo multiplicativo de los números complejos a los números reales . Es un verdadero grupo algebraico , cuyo grupo de R -puntos, S ( R ), es C * y el grupo de C -puntos es C * × C * . Un dato de Shimura es un par ( G , X ) que consta de un grupo algebraico reductivo (conectado) G definido sobre el campo Q de números racionales y un G ( R ) - clase de conjugación X de homomorfismos h : S → G R que satisface lo siguiente axiomas:
- Para cualquier h en X , solo los pesos (0,0), (1, −1), (−1,1) pueden ocurrir en g C , es decir, el álgebra de Lie compleja de G se descompone en una suma directa
- donde para cualquier z ∈ S , h ( z ) actúa trivialmente en el primer sumando y vía (respectivamente, ) en el segundo (respectivamente, tercer) sumando.
- La acción adjunta de h ( i ) induce una involución Cartan en el grupo adjunto de G R .
- El grupo adjunto de G R no admite un factor H definido sobre Q de manera que la proyección de h sobre H sea trivial.
De estos axiomas se deduce que X tiene una estructura única de una variedad compleja (posiblemente, desconectada) tal que para cada representación ρ : G R → GL ( V ), la familia ( V , ρ ⋅ h ) es una familia holomórfica de Hodge estructuras ; además, forma una variación de la estructura de Hodge, y X es una unión disjunta finita de dominios simétricos hermitianos .
Variedad Shimura
Deje Un ƒ sea el anillo de adeles finitas de Q . Para cualquier subgrupo abierto compacto suficientemente pequeño K de G ( A ƒ ), el espacio de doble clase lateral
es una unión disjunta finita de variedades localmente simétricas de la forma, donde el superíndice más indica un componente conectado . Las variedades Sh K ( G , X ) son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos K abiertos compactos suficientemente pequeños . Este sistema inverso
admite una acción de derecho natural de G ( A ƒ ). Se llama la variedad Shimura asociada con el datum Shimura ( G , X ) y se denota Sh ( G , X ).
Historia
Para tipos especiales de dominios simétricos hermitianos y subgrupos de congruencia Γ , las variedades algebraicas de la forma Γ \ X = Sh K ( G , X ) y sus compactaciones se introdujeron en una serie de artículos de Goro Shimura durante la década de 1960. El enfoque de Shimura, presentado más tarde en su monografía, fue en gran parte fenomenológico, persiguiendo las generalizaciones más amplias de la formulación de la ley de reciprocidad de la teoría de la multiplicación compleja . En retrospectiva, el nombre "variedad Shimura" fue introducido por Deligne , quien procedió a aislar las características abstractas que jugaron un papel en la teoría de Shimura. En la formulación de Deligne, las variedades Shimura son espacios paramétricos de ciertos tipos de estructuras de Hodge . Por lo tanto, forman una generalización natural de dimensiones superiores de curvas modulares vistas como espacios de módulos de curvas elípticas con estructura de nivel. En muchos casos, también se han identificado los problemas de módulos a los que las variedades Shimura son soluciones.
Ejemplos de
Deje que F sea un campo de número totalmente real y D un cuaternión álgebra de división sobre F . El grupo multiplicativo D × da lugar a una variedad canónica de Shimura. Su dimensión d es el número de lugares infinitos sobre los que D se divide. En particular, si d = 1 (por ejemplo, si F = Q y D ⊗ R ≅ M 2 ( R )), fijando un subgrupo aritmético suficientemente pequeño de D × , se obtiene una curva Shimura, y las curvas que surgen de esta construcción son ya compacto (es decir, proyectivo ).
Algunos ejemplos de curvas de Shimura con ecuaciones explícitamente conocidas están dadas por las curvas de Hurwitz de género bajo:
- Klein quartic (género 3)
- Superficie Macbeath (género 7)
- Primer triplete de Hurwitz (género 14)
y por la curva de Fermat de grado 7. [2]
Otros ejemplos de variedades Shimura incluyen superficies modulares Picard y superficies modulares Hilbert , también conocidas como variedades Hilbert-Blumenthal.
Modelos canónicos y puntos especiales
Cada variedad de Shimura se puede definir sobre un campo numérico canónico E llamado campo reflejo . Este importante resultado debido a Shimura muestra que las variedades de Shimura, que a priori son solo variedades complejas, tienen un campo de definición algebraico y, por lo tanto, significado aritmético. Constituye el punto de partida en su formulación de la ley de reciprocidad, donde ciertos puntos especiales definidos aritméticamente desempeñan un papel importante .
La naturaleza cualitativa del cierre Zariski de conjuntos de puntos especiales en una variedad Shimura está descrita por la conjetura de André-Oort . Se han obtenido resultados condicionales sobre esta conjetura, asumiendo una Hipótesis de Riemann Generalizada . [3]
Papel en el programa Langlands
Las variedades Shimura juegan un papel destacado en el programa Langlands . El teorema prototípico, la relación de congruencia de Eichler-Shimura , implica que la función zeta de Hasse-Weil de una curva modular es un producto de funciones L asociadas a formas modulares de peso 2 determinadas explícitamente . De hecho, estaba en proceso de generalización de Este teorema de que Goro Shimura introdujo sus variedades y demostró su ley de reciprocidad. Las funciones Zeta de las variedades Shimura asociadas con el grupo GL 2 sobre otros campos numéricos y sus formas internas (es decir, grupos multiplicativos de álgebras de cuaterniones) fueron estudiadas por Eichler, Shimura, Kuga, Sato e Ihara. Sobre la base de sus resultados, Robert Langlands hizo una predicción de que la función zeta de Hasse-Weil de cualquier variedad algebraica W definida sobre un campo numérico sería un producto de las potencias positivas y negativas de las funciones L automórficas, es decir, debería surgir de un colección de representaciones automórficas . [1] Por muy filosóficamente natural que pueda ser esperar tal descripción, declaraciones de este tipo solo se han probado cuando W es una variedad Shimura. [4] En palabras de Langlands:
Demostrar que todas las funciones L asociadas a las variedades Shimura - por lo tanto a cualquier motivo definido por una variedad Shimura - pueden expresarse en términos de las funciones L automórficas de [su artículo de 1970] es más débil, incluso mucho más débil, que demuestre que todas las funciones L motívicas son iguales a tales funciones L. Además, aunque se espera que la declaración más fuerte sea válida, hasta donde yo sé, no hay una razón muy convincente para esperar que todas las funciones L motívicas se adjunten a las variedades Shimura. [5]
Notas
- ↑ a b Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Ein Märchen" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: Simposio en matemáticas puras . XXXIII Parte 1. Chelsea Publishing Company. págs. 205–246.
- ^ Elkies, sección 4.4 (págs. 94-97) en ( Levy 1999 ).
- ^ http://people.math.jussieu.fr/~klingler/papiers/KY12.pdf
- ^ Calificación: se conocen muchos ejemplos, y el sentido en el que todos "provienen" de las variedades Shimura es algo abstracto.
- ^ Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Ein Märchen" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: Simposio en matemáticas puras . XXXIII Parte 1. Chelsea Publishing Company. pag. 208.
Referencias
- Alsina, Montserrat; Bayer, Pilar (2004), órdenes de cuaternión, formas cuadráticas y curvas Shimura , CRM Monograph Series, 22 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3359-6, Zbl 1073.11040
- James Arthur, David Ellwood y Robert Kottwitz (ed) Análisis armónico, la fórmula de rastreo y las variedades Shimura , Actas de matemáticas de arcilla, vol 4, AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
- Pierre Deligne, Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. Núm. 389, págs. 123-165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlín, 1971. MR0498581 , Numdam
- Pierre Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et técnicas de construcción de modèles canoniques, en formas automórficas, representaciones y funciones L , Proc. Simpos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Parte 2, págs. 247–289, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1979. MR0546620
- Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus , Kuang-yen Shi, ciclos de Hodge, motivos y variedades Shimura. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1982. ii + 414 págs. ISBN 3-540-11174-3 SEÑOR0654325
- Levy, Silvio, ed. (1999), The eightfold way , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, 35 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66066-2, MR 1722410 , Zbl 0941.00006 , edición de bolsillo de Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Lea esto: The Eightfold Way, revisado por Ruth Michler .CS1 maint: posdata ( enlace )
- Milne, JS (2001) [1994], "Variedad Shimura" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- J. Milne, variedades y motivos de Shimura , en U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre (ed.), Motives , Proc. Symp. Matemática pura, 55: 2, Amer. Matemáticas. Soc. (1994), págs. 447–523
- JS Milne , Introducción a las variedades Shimura , en Arthur, Ellwood y Kottwitz (2005)
- Harry Reimann, La función zeta semi-simple de las variedades cuaterniónicas de Shimura , Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
- Goro Shimura, The Collected Works of Goro Shimura (2003), vol 1-5
- Introducción a Goro Shimura a la teoría aritmética de funciones automórficas