Cubriendo el espacio

En matemáticas , específicamente en la topología algebraica , un mapa de cobertura (también proyección de cobertura ) es una función continua desde un espacio topológico a un espacio topológico de manera que cada punto tiene un vecindario abierto cubierto uniformemente por (como se muestra en la imagen). ^[1] En este caso, se llama un espacio que cubre y el espacio base de la proyección que cubre. La definición implica que cada mapa de cobertura es un homeomorfismo local .${\ Displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

Los espacios de cobertura juegan un papel importante en la teoría de la homotopía , el análisis armónico , la geometría de Riemann y la topología diferencial . En la geometría de Riemann, por ejemplo, la ramificación es una generalización de la noción de mapas de cobertura. Los espacios de cobertura también están profundamente entrelazados con el estudio de los grupos de homotopía y, en particular, el grupo fundamental . Una aplicación importante proviene del resultado de que, si es un espacio topológico "suficientemente bueno" , existe una biyección entre la colección de todas las clases de isomorfismos de revestimientos conectados de y el${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$clases de conjugación de subgrupos del grupo fundamental de .${\displaystyle X}$

Sea un espacio topológico . Un espacio de cobertura de es un espacio topológico junto con un mapa sobreyectivo continuo.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

de tal manera que para cada , existe una vecindad abierta de , tal que (la preimagen de debajo ) es una unión de conjuntos abiertos disjuntos en , cada uno de los cuales está mapeado homeomórficamente sobre por . ^{[2] [3]}${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

De manera equivalente, un espacio de cobertura de puede definirse como un haz de fibras con fibras discretas.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\colon C\to X}$

El mapa se denomina mapa de cobertura , ^[3] el espacio a menudo se denomina espacio base de la cobertura y el espacio se denomina espacio total de la cobertura. Para cualquier punto de la base, la imagen inversa de en es necesariamente un espacio discreto ^[3] llamado fibra sobre .${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$