En matemáticas , la conexión Gauss-Manin es una conexión en un determinado paquete de vectores sobre un espacio base S de una familia de variedades algebraicas . Las fibras del haz de vectores son los grupos de cohomología de De Rham. de las fibras de la familia. Fue introducido por Yuri Manin ( 1958 ) para las curvas S y por Alexander Grothendieck ( 1966 ) en dimensiones superiores.
Las secciones planas del paquete se describen mediante ecuaciones diferenciales ; la más conocida de ellas es la ecuación de Picard-Fuchs , que surge cuando se toma la familia de variedades como la familia de curvas elípticas . En términos intuitivos, cuando la familia es localmente trivial, las clases de cohomología pueden trasladarse de una fibra de la familia a fibras cercanas, proporcionando el concepto de "sección plana" en términos puramente topológicos. La existencia de la conexión se infiere de las secciones planas.
Intuición
Considere un morfismo suave de esquemas. sobre la característica 0. Si consideramos estos espacios como espacios analíticos complejos, entonces el teorema de la fibración de Ehresmann nos dice que cada fibraes una variedad suave y cada fibra es difeomórfica. Esto nos dice que los grupos de cohomología de-Rhamson todos isomorfos. Podemos usar esta observación para preguntar qué sucede cuando tratamos de diferenciar clases de cohomología usando campos vectoriales del espacio base..
Considere una clase de cohomología tal que dónde es el mapa de inclusión. Entonces, si consideramos las clases
eventualmente habrá una relación entre ellos, llamada ecuación de Picard-Fuchs . La conexión Gauss-Manin es una herramienta que codifica esta información en una conexión en el paquete de vector plano en construido a partir del . [1]
Ejemplo
Un ejemplo comúnmente citado es la construcción Dwork de la ecuación de Picard-Fuchs . Dejar
- ser la curva elíptica .
Aquí, es un parámetro libre que describe la curva; es un elemento de la compleja línea proyectiva (la familia de hipersuperficies endimensiones de grado n , definidas análogamente, se ha estudiado intensamente en los últimos años, en relación con el teorema de modularidad y sus extensiones). [2] Por lo tanto, el espacio base del paquete se toma como la línea proyectiva. Por un fijo en el espacio base, considere un elemento del grupo asociado de cohomología de Rham
Cada uno de estos elementos corresponde a un período de la curva elíptica. La cohomología es bidimensional. La conexión Gauss-Manin corresponde a la ecuación diferencial de segundo orden
Explicación del módulo D
En el contexto más abstracto de la teoría del módulo D , la existencia de tales ecuaciones se subsume en una discusión general de la imagen directa .
Ecuaciones "derivadas de la geometría"
Se ha utilizado toda la clase de conexiones Gauss-Manin para intentar formular el concepto de ecuaciones diferenciales que "surgen de la geometría". En relación con la conjetura de la curvatura p de Grothendieck , Nicholas Katz demostró que la clase de conexiones Gauss-Manin con coeficientes numéricos algebraicos satisface la conjetura. Este resultado está directamente relacionado con el concepto de función G de Siegel de la teoría de números trascendental , para soluciones de funciones meromórficas. La conjetura de Bombieri-Dwork , también atribuida a Yves André , que se da en más de una versión, postula una dirección inversa: soluciones como G -funciones, o p -curvatura nilpotente mod p para casi todos los primos p , significa que surge una ecuación " de la geometría ". [3] [4]
Ver también
- Conjetura de la simetría especular
- Módulo Hodge mixto
- Conexión meromórfica
Referencias
- ^ "Referencia para la conexión Gauss-Manin" . math.stackexchange.com .
- ^ Katz, Nicholas M. (2009). "Otra mirada a la familia Dwork". Álgebra, aritmética y geometría Vol II (PDF) . Boston: Birkhäuser. págs. 89-126. doi : 10.1007 / 978-0-8176-4747-6_4 . ISBN 978-0-8176-4746-9. Señor 2641188 .
- ^ Reiter, Stefan (2002). "Sobre las aplicaciones del functor de convolución medio de Katz (Deformación de ecuaciones diferenciales y análisis asintótico)" (PDF) . Repositorio de información de investigación de la Universidad de Kyoto .
- ^ Totaro, Burt (2007). "Euler y geometría algebraica" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . sección 1.4. 44 (4): 541–559. doi : 10.1090 / S0273-0979-07-01178-0 . Señor 2338364 .Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- Kulikov, Valentine (1998), Estructuras y singularidades mixtas de Hodge , Cambridge Tracts in Mathematics, págs. 1-59 (Ofrece una excelente introducción a las conexiones Gauss-Manin)
- Dimca, Alexandru , Sheaves in Topology , págs. 55–57, 206–207 (Da un ejemplo de las conexiones de Gauss-Manin y su relación con la teoría del módulo D y la correspondencia de Riemmann-Hilbert)
- Griffiths, Phillip , períodos de integrales en variedades algebraicas: resumen de los resultados principales y discusión de problemas abiertos (Ofrece un bosquejo rápido del teorema de la estructura principal de las conexiones de Gauss-Manin)
- Barrientos, Iván, La conexión Gauss-Manin y puntos singulares regulares. (PDF)
- Grothendieck, Alexander (1966), "Sobre la cohomología de De Rham de las variedades algebraicas" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , carta a Atiyah, 14 de octubre de 1963, 29 (29): 95–103, doi : 10.1007 / BF02684807 , ISSN 0073-8301 , MR 0199194 , S2CID 123434721
- "Conexión Gauss-Manin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Manin, Ju. I. (1958), "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación" , Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 22 : 737–756, MR 0103889 Traducción al inglés en Manin, Ju. I. (1964) [1958], "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación", traducciones de la American Mathematical Society: 22 artículos sobre álgebra, teoría de números y geometría diferencial , 37 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 59-78, ISBN 978-0-8218-1737-7, MR 0103889