En matemáticas, los módulos mixtos de Hodge son la culminación de la teoría de Hodge , las estructuras mixtas de Hodge , la cohomología de intersección y el teorema de descomposición que produce un marco coherente para discutir las variaciones de las estructuras de Hodge mixtas en degeneración a través del formalismo de seis functores . Básicamente, estos objetos son un par de módulos D filtrados junto con una gavilla perversa tal que el funtor de la correspondencia Riemann-Hilbert envía a . Esto permite construir una estructura de Hodge sobre cohomología de intersección, uno de los problemas clave cuando se descubrió el tema. Esto fue resuelto por Morihiko Saito, quien encontró una manera de usar la filtración en un módulo D coherente como un análogo de la filtración Hodge para una estructura Hodge. [1] Esto hizo posible dar una estructura de Hodge en una gavilla de cohomología de intersección, los objetos simples en la categoría abeliana de gavillas perversas.
Estructura abstracta
Antes de entrar en los detalles esenciales de la definición de módulos mixtos de Hodge, que es bastante elaborado, es útil tener una idea de lo que realmente ofrece la categoría de módulos mixtos de Hodge. Dada una variedad algebraica compleja hay una categoría abeliana [2] pág. 339 con las siguientes propiedades funcionales
- Hay un fiel functor llamado el functor de racionalización. Esto da el haz perverso racional subyacente de un módulo Hodge mixto.
- Hay un fiel functor enviar un módulo Hodge mixto a su módulo D subyacente
- Estos functores se comportan bien con respecto a la correspondencia de Riemann-Hilbert , es decir, para cada módulo Hodge mixto hay un isomorfismo .
Además, existen las siguientes propiedades categóricas
- La categoría de módulos Hodge mixtos sobre un punto es isomorfa a la categoría de estructuras Hodge mixtas,
- Cada objeto en admite una filtración de peso tal que cada morfismo en preserva la filtración de peso estrictamente, los objetos graduados asociados son semi-simples, y en la categoría de módulos Hodge mixtos sobre un punto, esto corresponde a la filtración por peso de una estructura Hodge Mixta.
- Hay un functor dualizante levantando el functor dualizador de Verdier en que es una involución en .
Por un morfismo de variedades algebraicas, los seis functores asociados en y tiene las siguientes propiedades
- no aumente el peso de un complejo de módulos mixtos Hodge.
- no disminuyas el peso de un complejo de módulos mixtos Hodge.
Relación entre categorías derivadas
La categoría derivada de módulos Hodge mixtos está íntimamente relacionado con la categoría derivada de poleas construibles equivalente a la categoría derivada de poleas perversas. Esto se debe a que el funtor de racionalización es compatible con el funtor de cohomología de un complejo de módulos mixtos Hodge. Al tomar la racionalización, hay un isomorfismo
por la perversidad media . Nota [2] pág. 310 esta es la función enviando , que difiere del caso de los pseudomorfas donde la perversidad es una función dónde . Recuerde que esto se define como tomar la composición de truncamientos perversos con el functor de desplazamiento, así que [2] pg 341
Este tipo de configuración también se refleja en los functores push y pull derivados y con ciclos cercanos y desvanecidos , el funtor de racionalización los lleva a sus functores perversos análogos en la categoría derivada de haces perversos.
Módulos tate y cohomología
Aquí denotamos la proyección canónica a un punto por . Uno de los primeros módulos mixtos de Hodge disponibles es el objeto Tate de peso 0, denotado que se define como el retroceso de su objeto correspondiente en , entonces
Tiene peso cero, entonces corresponde al peso 0 objeto Tate en la categoría de estructuras mixtas de Hodge. Este objeto es útil porque se puede utilizar para calcular las diversas cohomologías dea través del formalismo de seis functores y darles una estructura mixta de Hodge. Estos se pueden resumir con la tabla
Además, dada una incrustación cerrada existe el grupo de cohomología local
Variaciones de estructuras mixtas de Hodge
Por un morfismo de variedades los mapas pushforward y dar variaciones degenerativas de estructuras mixtas de Hodge en . Para comprender mejor estas variaciones, se requieren el teorema de descomposición y la cohomología de intersección.
Cohomología de intersección
Una de las características definitorias de la categoría de módulos mixtos de Hodge es el hecho de que la cohomología de intersección puede expresarse en su lenguaje. Esto hace posible utilizar el teorema de descomposición para mapas.de variedades. Para definir el complejo de intersección, dejemos ser la parte suave y abierta de una variedad . Entonces el complejo de intersección de Puede ser definido como
dónde
como con las poleas perversas [2] pág . 311 . En particular, esta configuración se puede utilizar para mostrar los grupos de cohomología de intersección
tener un peso puro Estructura Hodge.
Ver también
Referencias
- ^ "Estructura de Hodge a través de $ \ mathcal {D} $ - módulos filtrados" . www.numdam.org . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
- ^ a b c d Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras mixtas de Hodge . Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC 1120392435 .