plano complejo
En matemáticas , el plano complejo es el plano formado por los números complejos , con un sistema de coordenadas cartesianas tal que el eje x , llamado eje real , está formado por los números reales , y el eje y , llamado eje imaginario , está formado por los números imaginarios .
El plano complejo permite una interpretación geométrica de los números complejos. Bajo suma , se suman como vectores . La multiplicación de dos números complejos se puede expresar más fácilmente en coordenadas polares : la magnitud o módulo del producto es el producto de los dos valores absolutos , o módulos, y el ángulo o argumento del producto es la suma de los dos ángulos. o argumentos. En particular, la multiplicación por un número complejo de módulo 1 actúa como una rotación.
En el análisis complejo , los números complejos se representan habitualmente con el símbolo z , que se puede separar en sus partes real ( x ) e imaginaria ( y ):
En el plano cartesiano se puede suponer que la arcotangente toma valores de − π /2 a π /2 (en radianes ), y se debe tener cuidado para definir la función arcotangente más completa para puntos ( x , y ) cuando x ≤ 0. [nota 1] En el plano complejo estas coordenadas polares toman la forma
aquí | z | es el valor absoluto o módulo del número complejo z ; θ , el argumento de z , generalmente se toma en el intervalo 0 ≤ θ < 2 π ; y la última igualdad (to | z | e iθ ) se toma de la fórmula de Euler . Sin la restricción sobre el rango de θ , el argumento de z tiene varios valores, porque la función exponencial compleja es periódica, con período 2 π i . Por lo tanto, si θes un valor de arg( z ), los otros valores vienen dados por arg( z ) = θ + 2 nπ , donde n es cualquier número entero distinto de cero. [2]
Aunque rara vez se usa explícitamente, la visión geométrica de los números complejos se basa implícitamente en su estructura de un espacio vectorial euclidiano de dimensión 2, donde el producto interno de los números complejos w y z está dado por ; entonces para un número complejo z su valor absoluto | z | coincide con su norma euclidiana, y su argumento arg( z ) con el ángulo que gira de 1 a z .
