Conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot ( ) es el conjunto de números complejos para los cuales la función no diverge hasta el infinito cuando se itera desde , es decir, para los cuales la secuencia , , etc., permanece acotada en valor absoluto. Su definición se le atribuye a Adrien Douady quien la nombró en homenaje al matemático Benoit Mandelbrot , pionero de la geometría fractal . [1]
Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un límite elaborado e infinitamente complicado que revela detalles recursivos progresivamente cada vez más finos a aumentos crecientes, lo que hace que el límite del conjunto de Mandelbrot sea una curva fractal . El "estilo" de este detalle repetitivo depende de la región del conjunto que se examina. Las imágenes de conjunto de Mandelbrot se pueden crear muestreando los números complejos y probando, para cada punto de muestra, si la secuencia llega al infinito . Al tratar las partes real e imaginaria de como coordenadas de imagen en el plano complejo , los píxeles se pueden colorear de acuerdo con la rapidez con la que transcurre la secuencia. cruza un umbral elegido arbitrariamente (el umbral debe ser al menos 2, ya que -2 es el número complejo con la mayor magnitud dentro del conjunto, pero de lo contrario el umbral es arbitrario). Si se mantiene constante y se varía el valor inicial de , se obtiene el conjunto de Julia correspondiente para el punto .
El conjunto de Mandelbrot se ha vuelto popular fuera de las matemáticas tanto por su atractivo estético como por ser un ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática , belleza matemática y motivo .
El conjunto de Mandelbrot (negro) dentro de un entorno de color continuo
Iteraciones infinitas progresivas de la sección "Nautilus" del conjunto de Mandelbrot renderizado usando webGL
Animación de Mandelbrot basada en un número estático de iteraciones por píxel
Detalle del conjunto de Mandelbrot
Acercándonos al conjunto de Mandelbrot
La primera imagen publicada del conjunto de Mandelbrot, por
Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978 .
Correspondencia entre el conjunto de Mandelbrot y el diagrama de bifurcación del mapa logístico
Con las iteraciones trazadas en el eje vertical, se puede ver que el conjunto de Mandelbrot se bifurca donde el conjunto es finito
Rayos externos de estelas cerca del continente del período 1 en el conjunto de Mandelbrot
Períodos de componentes hiperbólicas
Ciclo de atracción en 2/5 bombillas trazado sobre el conjunto de Julia (animación)
Ciclos de atracción y juegos de Julia para parámetros en los bulbos de 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 y 1/5
La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al hacer zoom en una característica redonda mientras se desplaza en la dirección
x negativa . El centro de la pantalla se desplaza de (−1, 0) a (−1,31, 0) mientras que la vista aumenta de 0,5 × 0,5 a 0,12 × 0,12 para aproximarse a la relación de Feigenbaum .
Animaciones del conjunto Multibrot para d de 0 a 5 (izquierda) y de 0,05 a 2 (derecha).
Un set de Julia en 4D se puede proyectar o seccionar transversalmente en 3D, y debido a esto también es posible un Mandelbrot en 4D.
Imagen del fractal Tricornio / Mandelbar
