entero gaussiano
En la teoría de números , un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes reales e imaginarias son números enteros . Los enteros gaussianos, con sumas y multiplicaciones ordinarias de números complejos , forman un dominio integral , generalmente escrito como Z [ i ] . [1] Este dominio integral es un caso particular de un anillo conmutativo de enteros cuadráticos . No tiene un ordenamiento total que respete la aritmética.
En otras palabras, un entero gaussiano es un número complejo tal que sus partes real e imaginaria son números enteros . Dado que los enteros gaussianos son cerrados en la suma y la multiplicación, forman un anillo conmutativo , que es un subanillo del campo de los números complejos. Por lo tanto, es un dominio integral .
Cuando se consideran dentro del plano complejo , los enteros gaussianos constituyen la red de enteros bidimensional .
La norma de un entero gaussiano es, por tanto, el cuadrado de su valor absoluto como número complejo. La norma de un entero gaussiano es un entero no negativo, que es una suma de dos cuadrados . Así una norma no puede ser de la forma 4 k + 3 , con k entero.
para cada par de enteros gaussianos z , w . Esto se puede demostrar directamente o usando la propiedad multiplicativa del módulo de los números complejos.
Las unidades del anillo de los enteros gaussianos (es decir, los enteros gaussianos cuyo inverso multiplicativo también es un entero gaussiano) son precisamente los enteros gaussianos de norma 1, es decir, 1, –1 , i y –i . [3]
