Distribución hiperbólica generalizada

Hiperbólico generalizado

Parámetros	${\displaystyle \lambda }$ (real) (real) parámetro de asimetría (real) parámetro de escala (real) ubicación ( real ) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
Apoyo	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
Significar	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Diferencia	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

La distribución hiperbólica generalizada ( GH ) es una distribución de probabilidad continua definida como la mezcla normal de varianza-media donde la distribución de mezcla es la distribución gaussiana inversa generalizada (GIG). Su función de densidad de probabilidad (ver el recuadro) se da en términos de la función de Bessel modificada del segundo tipo , denotada por . ^[1] Fue introducido por Ole Barndorff-Nielsen , quien lo estudió en el contexto de la física de la arena arrastrada por el viento . ^[2]${\displaystyle K_{\lambda }}$

Propiedades

Transformación lineal

Esta clase está cerrada bajo transformaciones afines . ^[1]

Resumen

Barndorff-Nielsen y Halgreen demostraron que la distribución GIG es infinitamente divisible y dado que la distribución de GH se puede obtener como una mezcla normal de varianza-media donde la distribución de mezcla es la distribución gaussiana inversa generalizada , Barndorff-Nielsen y Halgreen mostraron que la distribución de GH es infinitamente divisible también. ^[3]

No se puede cerrar la convolución

Un punto importante sobre las distribuciones infinitamente divisibles es su conexión con los procesos de Lévy., es decir, en cualquier momento un proceso de Lévy se distribuye infinitamente divisible. Muchas familias de distribuciones infinitamente divisibles conocidas se denominan convolución cerrada, es decir, si la distribución de un proceso de Lévy en un punto en el tiempo pertenece a una de estas familias, entonces la distribución del proceso de Lévy en todos los puntos del tiempo pertenece a la misma familia de distribuciones. Por ejemplo, un proceso de Poisson tendrá una distribución de Poisson en todos los puntos en el tiempo, o un movimiento browniano se distribuirá normalmente en todos los puntos del tiempo. Sin embargo, un proceso de Lévy que es hiperbólico generalizado en un momento dado puede no ser hiperbólico generalizado en otro momento. De echo,las distribuciones de Laplace generalizadas y las distribuciones gaussianas inversas normales son las únicas subclases de las distribuciones hiperbólicas generalizadas que están cerradas bajo convolución.^[4]

Distribuciones relacionadas

Como su nombre indica, es de una forma muy general, siendo la superclase de, entre otros, el de Student t -distribución , la distribución de Laplace , la distribución hiperbólica , la distribución de Gauss normal inversa y la distribución de varianza-gamma .

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$tiene una de Student t -distribución con grados de libertad.${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$tiene una distribución hiperbólica .

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$tiene una distribución gaussiana inversa normal (NIG).
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ distribución chi-cuadrado normal-inversa
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ distribución gamma normal-inversa (NI)
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,}$tiene una distribución de varianza-gamma
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,}$tiene una distribución de Laplace con parámetro de ubicación y parámetro de escala 1.${\displaystyle \mu }$

Aplicaciones

Se aplica principalmente a áreas que requieren una probabilidad suficiente de comportamiento de campo lejano ^{[ aclaración necesaria ]} , que puede modelar debido a sus colas semi-pesadas, una propiedad que la distribución normal no posee. La distribución hiperbólica generalizada se utiliza a menudo en economía, con especial aplicación en los campos de la modelización de los mercados financieros y la gestión de riesgos, debido a sus colas semipesadas.

Referencias

1. Ole E Barndorff-Nielsen, Thomas Mikosch y Sidney I. Resnick, Procesos de Lévy: teoría y aplicaciones, Birkhäuser 2013
2. Barndorff-Nielsen, Ole (1977). "Distribuciones decrecientes exponencialmente para el logaritmo del tamaño de partícula". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . La Royal Society. 353 (1674): 401–409. Código bibliográfico : 1977RSPSA.353..401B . doi : 10.1098 / rspa.1977.0041 . JSTOR  79167 .
3. O. Barndorff-Nielsen y Christian Halgreen, Divisibilidad infinita de las distribuciones gaussianas inversas hiperbólicas y generalizadas, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
4. Podgórski, Krzysztof; Wallin, Jonas (9 de febrero de 2015). "Subclases invariantes de convolución de distribuciones hiperbólicas generalizadas". Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 45 (1): 98–103. doi : 10.1080 / 03610926.2013.821489 .