Hipótesis de Riemann generalizada
La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas . Es un enunciado sobre los ceros de la función zeta de Riemann . Varios objetos geométricos y aritméticos se pueden describir mediante las llamadas funciones L globales , que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. Entonces se puede hacer la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones L , lo que arroja varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son ciertas. Los únicos casos de estas conjeturas que han sido probados ocurren en el campo de funciones algebraicas.caso (no el caso del campo numérico).
Las funciones L globales se pueden asociar a curvas elípticas , campos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind ), formas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones L de Dirichlet ). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se conoce como hipótesis de Riemann extendida (ERH) y cuando se formula para funciones L de Dirichlet , se conoce como hipótesis de Riemann generalizada (GRH). Estas dos declaraciones se discutirán con más detalle a continuación. (Muchos matemáticos usan la etiquetahipótesis de Riemann generalizada para cubrir la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales, no solo al caso especial de las funciones L de Dirichlet ).
La hipótesis de Riemann generalizada (para las funciones L de Dirichlet ) probablemente fue formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884. [1] Al igual que la hipótesis de Riemann original, tiene consecuencias de gran alcance sobre la distribución de los números primos .
A continuación se presenta el enunciado formal de la hipótesis. Un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa χ tal que existe un entero positivo k con χ ( n + k ) = χ ( n ) para todo n y χ ( n ) = 0 siempre que mcd( n , k ) > 1 . Si se da tal carácter, definimos la correspondiente función L de Dirichlet por
para todo número complejo s tal que Re s > 1 . Por continuación analítica , esta función puede extenderse a una función meromórfica (sólo cuando es primitiva) definida en todo el plano complejo. La hipótesis de Riemann generalizada afirma que, para todo carácter de Dirichlet χ y todo número complejo s con L ( χ , s ) = 0 , si s no es un número real negativo, entonces la parte real de s es 1/2.
El teorema de Dirichlet establece que si a y d son números naturales coprimos , entonces la progresión aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... contiene infinitos números primos. Sea π( x , a , d ) el número de números primos en esta progresión que son menores o iguales que x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces para todo coprimo a y d y para todo ε > 0 ,