En matemáticas , una cónica generalizada es un objeto geométrico definido por una propiedad que es una generalización de las sumas que definen la propiedad de la cónica clásica . Por ejemplo, en geometría elemental , una elipse se puede definir como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos, los focos , en el plano es una constante. La curva que se obtiene cuando el conjunto de dos puntos fijos es reemplazado por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, de puntos en el plano se llama n- elipsey se puede considerar como una elipse generalizada. Dado que una elipse es el conjunto equidistante de dos círculos, el conjunto equidistante de dos conjuntos arbitrarios de puntos en un plano puede verse como una cónica generalizada. En coordenadas cartesianas rectangulares , la ecuación y = x 2 representa una parábola . La ecuación generalizada y = x r , para r ≠ 0 y r ≠ 1, puede tratarse como una definición de una parábola generalizada. La idea de cónica generalizada ha encontrado aplicaciones en la teoría de la aproximación y la teoría de la optimización . [1]
Entre las diversas formas posibles en las que se puede generalizar el concepto de cónica, el enfoque más utilizado es definirlo como una generalización de la elipse . El punto de partida para este enfoque es considerar una elipse como una curva que satisface la 'propiedad de dos focos': una elipse es una curva que es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias desde dos puntos dados es constante. Los dos puntos son los focos de la elipse. La curva obtenida al reemplazar el conjunto de dos puntos fijos por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, en el plano se puede considerar como una elipse generalizada. Las cónicas generalizadas con tres focos se denominan elipses trifocales. Esto se puede generalizar aún más a las curvas que se obtienen como los lugares de los puntos que se mueven de manera que la media aritmética ponderada de las distancias desde un conjunto finito de puntos es una constante. Es posible una generalización adicional suponiendo que los pesos asignados a las distancias pueden ser de signo arbitrario, a saber, más o menos. Finalmente, también se puede eliminar la restricción de que el conjunto de puntos fijos, llamado conjunto de focos de la cónica generalizada, sea finito. Se puede suponer que el conjunto es finito o infinito. En el caso infinito, la media aritmética ponderada debe reemplazarse por una integral apropiada. Las cónicas generalizadas en este sentido también se denominan polelipses , egglipses o elipses generalizadas . Dado que tales curvas fueron consideradas por el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ( 1651-1708 ), también se las conoce como Tschirnhaus'sche Eikurve . [2] También estas generalizaciones han sido discutidas por Rene Descartes [3] y por James Clerk Maxwell. [4]
Curvas ovaladas multifocales
René Descartes (1596-1650), padre de la geometría analítica, en su La Geometrie publicada en 1637, apartó una sección de unas 15 páginas para discutir lo que él había llamado elipses bifocales. Un óvalo bifocal se definió allí como el lugar de un punto P que se mueve en un plano tal quedonde A y B son puntos fijos en el plano y λ y c son constantes que pueden ser positivas o negativas. Descartes había introducido estos óvalos, que ahora se conocen como óvalos cartesianos , para determinar las superficies del vidrio de modo que después de la refracción los rayos se encuentren en el mismo punto. Descartes también había reconocido estos óvalos como generalizaciones de cónicas centrales, porque para ciertos valores de λ estos óvalos se reducen a las cónicas centrales familiares, a saber, el círculo, la elipse o la hipérbola. [3]
Los óvalos multifocales fueron redescubiertos por James Clerk Maxwell (1831-1879) cuando todavía era un estudiante de escuela. A la temprana edad de 15 años, Maxwell escribió un artículo científico sobre estos óvalos con el título "Observaciones sobre figuras circunscritas que tienen una pluralidad de focos y radios de diversas proporciones" y lo presentó el profesor JD Forbes en una reunión de la Royal Society. of Edinburgh en 1846. El profesor JD Forbes también publicó una reseña del artículo en las Actas de la Royal Society of Edinburgh. [4] [5] En su artículo, aunque Maxwell no utilizó el término "cónica generalizada", estaba considerando curvas definidas por condiciones que eran generalizaciones de la condición definitoria de una elipse.
Definición
Un óvalo multifocal es una curva que se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve de manera que
donde A 1 , A 2 ,. . . , A n son puntos en un plano fijo y lambda 1 , λ 2 ,. . . , λ n son números racionales fijos y c es una constante. Dio métodos sencillos con un hilo de alfiler y un lápiz para dibujar tales óvalos.
El método para dibujar el óvalo definido por la ecuación. ilustra el enfoque general adoptado por Maxwell para dibujar tales curvas. Fijar dos pasadores en los focos A y B . Tome una cadena cuya longitud es c + AB y atar un extremo de la cadena a la clavija en una . Un lápiz está unido al otro extremo de la cuerda y la cadena se pasa alrededor de la espiga en el foco B . A continuación, el lápiz se mueve guiado por el arco de la cuerda. La curva trazada por el lápiz es el lugar geométrico de P . Su ingenio es más visible en su descripción del método para dibujar un óvalo trifocal definido por una ecuación de la forma. Deje tres pasadores de fijarse en los tres focos A , B , C . Deje que un extremo de la cuerda se fije en el pin en C y deje que la cuerda pase alrededor de los otros pines. Deje que el lápiz se adhiera al otro extremo de la cuerda. Enrede el lápiz un seno en la cadena entre A y C y luego se extienden a P . El lápiz se mueve de manera que la cuerda quede tensa. La figura resultante sería parte de una elipse trifocal. Es posible que sea necesario ajustar las posiciones de la cuerda para obtener el óvalo completo.
En los dos años posteriores a la presentación de su artículo a la Royal Society of Edinburgh, Maxwell desarrolló sistemáticamente las propiedades geométricas y ópticas de estos óvalos. [5]
Especialización y generalización del enfoque de Maxwell
Como caso especial del enfoque de Maxwell, considere la n-elipse , el lugar geométrico de un punto que se mueve de manera que se cumple la siguiente condición:
Dividiendo por ny reemplazando c / n por c , esta condición definitoria se puede establecer como
Esto sugiere una interpretación simple: la cónica generalizada es una curva tal que la distancia promedio de cada punto P en la curva desde el conjunto { A 1 , A 2 ,. . . , A n } tiene el mismo valor constante. Esta formulación del concepto de cónica generalizada se ha generalizado aún más de varias formas diferentes.
- Cambie la definición de la media . En la formulación, el promedio se interpretó como la media aritmética. Esto puede ser reemplazado por otras nociones de promedios como la media geométrica de las distancias. Si se usa la media geométrica para especificar el promedio, las curvas resultantes resultan ser lemniscates . "Los lemniscates son conjuntos cuyos puntos tienen la misma media geométrica de las distancias (es decir, su producto es constante). Los lemniscates juegan un papel central en la teoría de la aproximación. La aproximación polinomial de una función holomórfica se puede interpretar como la aproximación de la curvas de nivel con lemniscates. El producto de las distancias corresponde al valor absoluto de la descomposición de la raíz de los polinomios en el plano complejo ". [6]
- Cambie la cardinalidad del conjunto focal . Modifique la definición para que la definición se pueda aplicar incluso en el caso de que el conjunto focal sea infinito. Esta posibilidad fue presentada por primera vez por C. Gross y T.-K. Strempel [2] y plantearon el problema de si los resultados (del caso clásico) pueden extenderse al caso de un número infinito de puntos focales o al conjunto continuo de focos. [7]
- Cambie la dimensión del espacio subyacente . Se puede suponer que los puntos se encuentran en algún espacio d -dimensional.
- Cambia la definición de la distancia . Se emplean definiciones tradicionalmente euclidianas. en su lugar , se pueden utilizar otras nociones de distancia como la distancia en taxi . [6] [8] Las cónicas generalizadas con esta noción de distancia han encontrado aplicaciones en la tomografía geométrica . [6] [9]
La formulación de la definición de la cónica generalizada en el caso más general cuando la cardinalidad del conjunto focal es infinita involucra las nociones de conjuntos medibles e integración de Lebesgue. Todos ellos han sido empleados por diferentes autores y las curvas resultantes se han estudiado con especial énfasis en las aplicaciones.
Definición
Dejar ser una métrica y una medida en un conjunto compacto con . La función cónica generalizada no ponderada asociado con es
dónde es una función del kernel asociada con . es el conjunto de focos. El nivel se establecese llaman cónicas generalizadas. [6]
Cónicas generalizadas mediante ecuaciones polares
Dada una cónica, eligiendo un foco de la cónica como polo y la línea que pasa por el polo paralela a la directriz de la cónica como eje polar, la ecuación polar de la cónica se puede escribir de la siguiente forma:
Aquí e es la excentricidad de la cónica y d es la distancia de la directriz al polo. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian en su estudio de las curvas dibujadas en las superficies de los conos circulares rectos introdujeron una nueva clase de curvas que llamaron cónicas generalizadas. [10] [11] Estas son curvas cuyas ecuaciones polares son similares a las ecuaciones polares de las cónicas ordinarias y las cónicas ordinarias aparecen como casos especiales de estas cónicas generalizadas.
Definición
Para constantes r 0 ≥ 0, λ ≥ 0 y k real , una curva plana descrita por la ecuación polar
se llama cónica generalizada . [11] La cónica se denomina elipse, parábola o hipérbola generalizada según λ <1, λ = 1 o λ > 1.
Casos especiales
- En el caso especial cuando k = 1, la cónica generalizada se reduce a una cónica ordinaria.
- En el caso especial cuando k > 1, existe un método geométrico simple para la generación de la cónica generalizada correspondiente. [11]
- Sea α un ángulo tal que sen α = 1 / k . Considere un cono circular recto con un ángulo semi-vertical igual a α . Considere la intersección de este cono por un plano tal que la intersección sea una cónica con excentricidad λ . Desenvuelve el cono en un avión. Entonces, la curva en el plano en el que se desenvuelve la sección cónica de excentricidad λ es una cónica generalizada con ecuación polar como se especifica en la definición.
- En el caso especial cuando k <1, la cónica generalizada no se puede obtener desenvolviendo una sección cónica. En este caso hay otra interpretación.
- Considere una cónica ordinaria dibujada en un plano. Envuelva el plano para formar un cono circular recto de modo que la cónica se convierta en una curva en el espacio tridimensional. La proyección de la curva sobre un plano perpendicular al eje del cono será una cónica generalizada en el sentido de Apostol y Mnatsakanian con k <1.
Ejemplos de
Cónicas generalizadas en aproximación de curvas
En 1996, Ruibin Qu introdujo una nueva noción de cónica generalizada como herramienta para generar aproximaciones a curvas. [12] El punto de partida de esta generalización es el resultado de que la secuencia de puntos definido por
acostarse sobre una cónica. En este enfoque, la cónica generalizada ahora se define como se muestra a continuación.
Definición
Una cónica generalizada es una curva tal que si los dos puntos y están en él, entonces los puntos generado por la relación recursiva
para algunos y satisfaciendo las relaciones
también están en él.
Cónicas generalizadas como conjuntos equidistantes
Definición
Sea ( X , d ) un espacio métrico y dejó un ser no vacío subconjunto de X . Si x es un punto en X , la distancia de x desde A se define como d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a en A }. Si A y B son ambos subconjuntos no vacíos de X, entonces el conjunto equidistante determinado por A y B se define como el conjunto { x en X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Este conjunto equidistante se denota por { A = B }. El término cónica generalizada se usa para denotar un conjunto equidistante general. [13]
Ejemplos de
Las cónicas clásicas se pueden realizar como conjuntos equidistantes. Por ejemplo, si A es un conjunto singleton y B es una línea recta, entonces el conjunto equidistante { A = B } es una parábola. Si A y B son círculos tales que A está completamente dentro de B, entonces el conjunto equidistante { A = B } es una elipse. Por otro lado, si A se encuentra completamente fuera de B, el conjunto equidistante { A = B } es una hipérbola.
Referencias
- ^ Csaba Vincze. "Geometría convexa" . Consultado el 11 de noviembre de 2015 .
- ^ Gyula Sz.-Nagy (junio de 1950). "Tschirnhaus'sche Eiflachen und EiKurven". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 1 (2): 167–181. doi : 10.1007 / BF02021309 . S2CID 121088250 .
- ^ a b Ivor Grattan-Guinness (2005). Escritos emblemáticos en matemáticas occidentales 1640–1940 . Elsevier. pag. 13. ISBN 9780080457444. Consultado el 15 de diciembre de 2015 .
- ^ a b James Clerk Maxwell (1990). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846–1862 (Documento sobre la descripción de curvas ovaladas) . Archivo CUP. págs. 35–42. ISBN 9780521256254. Consultado el 11 de noviembre de 2015 .
- ^ a b PM Harman, Peter Michael Harman (febrero de 2001). La filosofía natural de James Clerk Maxwell . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 11-15. ISBN 9780521005852. Consultado el 15 de diciembre de 2015 .
- ^ a b c d Abris nagy (2015). "Una breve reseña sobre la teoría de las cónicas generalizadas" (PDF) . Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis . 31 : 81–96 . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
- ^ C. Gross y T.-K. Strempel (1998). "Sobre generalizaciones de cónicas y sobre una generalización del problema de Fermat-Torricelli". American Mathematical Monthly . 105 (8): 732–743. doi : 10.2307 / 2588990 . JSTOR 2588990 .
- ^ Akos G. Horvath, Horst Martini (2011). "Cónicas en planos normativos" (PDF) . Extracta Mathematicae . 26 (1): 29–43 . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
- ^ Abris Nagy. "Cónicas generalizadas y tomografía geométrica" (PDF) . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
- ^ Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (mayo de 2007). "Desenvolver curvas de cilindros y conos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 114 (5): 388–416. doi : 10.1080 / 00029890.2007.11920429 . JSTOR 27642220 . S2CID 5953158 . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 11 de diciembre de 2015 .
- ^ a b c Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (2012). Nuevos horizontes en geometría . La Asociación Matemática de América. pag. 197. ISBN 9780883853542.
- ^ Ruibin Qu (diciembre de 1997). "Curvas cónicas generalizadas y sus aplicaciones en aproximación de curvas". Teoría de la aproximación y sus aplicaciones . 13 (4): 57–74.
- ^ Mario Ponce, Patricio Santibánez (enero de 2014). "Sobre conjuntos equidistantes y cónicas generalizadas: lo viejo y lo nuevo" . The American Mathematical Monthly . 121 (1): 18–32. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.121.01.018 . hdl : 10533/140755 . S2CID 207521114 . Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
Otras lecturas
- Para una discusión detallada de las cónicas generalizadas desde el punto de vista de la geometría diferencial, consulte el capítulo sobre cónicas generalizadas en el libro Convex Geometry de Csaba Vincze disponible en línea. [1]
- ^ Csaba Vincze. "Geometría convexa Capítulo 10. Cónicas generalizadas" . Digitalis Tankonyvtar . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .