La distribución gamma generalizada es una distribución de probabilidad continua con tres parámetros. Es una generalización de la distribución gamma de dos parámetros . Dado que muchas distribuciones comúnmente utilizadas para modelos paramétricos en el análisis de supervivencia (como la distribución exponencial , la distribución de Weibull y la distribución gamma ) son casos especiales de gamma generalizada, a veces se usa para determinar qué modelo paramétrico es apropiado para un conjunto dado de datos. [1] Otro ejemplo es la distribución media normal .
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Caracteristicas
La gamma generalizada tiene tres parámetros: , , y . Para x no negativo , la función de densidad de probabilidad de la gamma generalizada es [2]
dónde denota la función gamma .
La función de distribución acumulativa es
dónde denota la función gamma incompleta inferior .
La función cuantil se puede encontrar observando que dónde es la función de distribución acumulativa de la distribución Gamma con parámetros y . La función de cuantiles se obtiene invirtiendousando relaciones conocidas sobre la inversa de funciones compuestas , produciendo:
con siendo la función cuantil para una distribución gamma con .
Si entonces la distribución gamma generalizada se convierte en la distribución de Weibull . Alternativamente, sila gamma generalizada se convierte en la distribución gamma . Si y luego se convierte en la distribución Nakagami .
A veces se utilizan parametrizaciones alternativas de esta distribución; por ejemplo con la sustitución α = d / p . [3] Además, se puede agregar un parámetro de desplazamiento, por lo que el dominio de x comienza en algún valor distinto de cero. [3] Si las restricciones sobre los signos de a , d y p también se eliminan (pero α = d / p sigue siendo positivo), esto da una distribución llamada distribución Amoroso , en honor al matemático y economista italiano Luigi Amoroso, quien la describió en 1925. [4]
Momentos
Si X tiene una distribución gamma generalizada como la anterior, entonces [3]
Propiedades
Denote GG (a, d, p) como la distribución gamma generalizada de los parámetros a , d , p . Entonces, dado y dos números reales positivos, si , luego y .
Divergencia de Kullback-Leibler
Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones gamma generalizadas, entonces su divergencia Kullback-Leibler viene dada por
dónde es la función digamma . [5]
Implementación de software
En el lenguaje de programación R , hay algunos paquetes que incluyen funciones para ajustar y generar distribuciones gamma generalizadas. El paquete gamlss en R permite ajustar y generar muchas familias de distribución diferentes, incluida la gamma generalizada (familia = GG). Otras opciones en R, implementadas en el paquete flexsurv , incluyen la función dgengamma , con parametrización:, , , y en el paquete ggamma con parametrización, , .
Ver también
- distribución de media t
- distribución normal truncada
- distribución normal plegada
- distribución gaussiana rectificada
- Distribución normal modificada a la mitad . [6]
- Distribución gamma entera generalizada
Referencias
- ^ Box-Steffensmeier, Janet M .; Jones, Bradford S. (2004) Modelado de historia de eventos: una guía para científicos sociales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-54673-7 (págs. 41-43)
- ^ Stacy, EW (1962). "Una generalización de la distribución gamma". Annals of Mathematical Statistics 33 (3): 1187-1192. JSTOR 2237889
- ^ a b c Johnson, NL; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas, Volumen 1 , 2da edición. Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (Sección 17.8.7)
- ^ Gavin E. Crooks (2010), The Amoroso Distribution , Nota técnica, Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley.
- ^ C. Bauckhage (2014), Cálculo de la divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones gamma generalizadas, arXiv : 1401.6853 .
- ^ Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución semi-normal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente" . Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 0 (0): 1–23. doi : 10.1080 / 03610926.2021.1934700 . ISSN 0361-0926 .